РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

В школах № 1 и № 2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писали 50 учащихся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого, один из учащихся, писавших тест, перешел из школы № 1 в школу № 2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а)  Мог ли средний балл в школе № 1 уменьшиться в 2 раза?

б)  Средний балл в школе № 1 уменьшился на 2%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 2%. Мог ли первоначальный средний балл в школе № 2 равняться 9?

в)  Средний балл в школе № 1 уменьшился на 2%, средний балл в школе № 2 также уменьшился на 2%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе № 2.

Решение. а)  Пусть в школе № 1 писали тест два учащихся, один из них набрал 1 балл, а второй набрал 3 балла и перешёл в школу № 2. Тогда средний балл в школе № 1 уменьшился в 2 раза.

б)  Пусть в школе № 2 писали тест m учащихся, средний балл равнялся B, а перешедший в неё учащийся набрал u баллов. Тогда получаем:

$u=0,98 левая круглая скобка m плюс 1 правая круглая скобка B минус mB;50u= левая круглая скобка 49 минус m правая круглая скобка B.$

Если B  =  9, то $левая круглая скобка 49 минус m правая круглая скобка B$ не делится на 50, а 50u делится на 50. Но это невозможно, поскольку $50u= левая круглая скобка 49 минус m правая круглая скобка B.$

в)  Пусть в школе № 1 средний балл равнялся A. Тогда получаем:

$u= левая круглая скобка 50 минус m правая круглая скобка A минус 0,98 левая круглая скобка 49 минус m правая круглая скобка A;50u= левая круглая скобка 99 минус m правая круглая скобка A= левая круглая скобка 49 минус m правая круглая скобка B.$

Заметим, что если B  =  1 или B  =  3, то $50u= левая круглая скобка 49 минус m правая круглая скобка B$ не делится на 50. Если B  =  5, то m  =  9, m  =  19, m  =  29 и m  =  39. Тогда соответственно получаем: 90A  =  200, 80A  =  150, 70A  =  100, 60A  =  50. Ни один из этих случаев не возможен. Если B  =  2 или B  =  4, то m  =  24. В первом случае 75A  =  50, а во втором 75A  =  100. Значит, ни один из этих случаев не возможен.

При B  =  6 и m  =  24 получаем u  =  3 и A  =  2. Этот случай реализуется, например, если в школе № 1 писали тест 26 учащихся, 13 из них набрали по 1 баллу, а 13  — по 3 балла, в школе № 2 писали тест 24 учащихся и каждый набрал по 6 баллов, а у перешедшего из одной школы в другую учащегося 3 балла.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  6.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	520920	а)  да; б)  нет; в)  6.

Ключ