Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре различных решения.
Решение. Второе уравнение приводится к виду 
откуда 
При a = 0 исходная система имеет одно решение.
При 
при подстановке в первое уравнение системы 
получаются квадратные уравнения. Значит, исходная система уравнений имеет ровно четыре различных решения тогда и только тогда, когда каждое из этих уравнений имеет ровно два корня и пара чисел (1; 1) не является решением исходной системы.
При 
получаем:
Это квадратное уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте:
При 
получаем:
Это квадратное уравнение имеет два корня при положительном дискриминанте:
получаем 
и 
Пара чисел (1; 1) является решением исходной системы при 
то есть при 
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно четыре решения при 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек  и/или  , и при этом рассмотрен случай  | 3 |
С помощью верного рассуждения получены промежутки  и  возможно, с включением точек  и/или  ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения. | 2 |
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения и получен или промежуток  , или два промежутка  и  возможно, с включением граничных точек.ИЛИ Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения окружности и прямых (аналитически или графически). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |