РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 14 № 520784 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ — 2018. Основная волна 01.06.2018. Вариант 401 (часть 2);

Задания 14 (С2) ЕГЭ 2018.

Классификатор стереометрии: Объем тела, Угол между прямыми, Цилиндр

Стереометрическая задача. Круглые тела: цилиндр, конус, шар

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания  — точка C₁, причём CC₁  — образующая цилиндра, а AC   — диаметр основания. Известно, что $\angleACB=30 градусов,$ $AB= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ,CC_1=2.$

а)  Докажите, что угол между прямыми $AC_1$ и BC равен $45 градусов.$

б)  Найдите объём цилиндра.

Решение. а)  Пусть BB₁  — образующая цилиндра. Тогда BB₁C₁C  — прямоугольник, поэтому угол между прямыми AC₁ и BС равен углу $AC_1B_1.$

Угол ABC опирается на диаметр основания цилиндра, поэтому он прямой. Значит, прямая B₁C₁, параллельная прямой BС, перпендикулярна прямым AB и BB₁. Таким образом, прямая  B₁С₁ перпендикулярна плоскости  ABB₁, а значит, угол  AB₁C₁ прямой.

В прямоугольном треугольнике АB₁С₁

$B_1C_1=BC=AB корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента ,AB_1=$
$= корень из: начало аргумента: AB в квадрате плюс BB_1 в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: AB в квадрате плюс CC_1 в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента .$ $B_1C_1=BC=AB корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента ,AB_1= корень из: начало аргумента: AB в квадрате плюс BB_1 в квадрате конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: AB в квадрате плюс CC_1 в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента .$

Значит, $\angleAC_1B_1=45 градусов.$

б)  Отрезок AC является диаметром основания цилиндра. Значит, площадь основания цилиндра

$S= дробь: числитель: Пи умножить на AC в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби = Пи умножить на AB в квадрате =2 Пи .$

Следовательно, объём цилиндра

$V=2 Пи умножить на BB_1=4 Пи .$

Ответ: б) $4 Пи .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б) $4 Пи .$

520784

б) $4 Пи .$

Источники:

ЕГЭ — 2018. Основная волна 01.06.2018. Вариант 401 (часть 2);

Задания 14 (С2) ЕГЭ 2018.

Классификатор стереометрии: Объем тела, Угол между прямыми, Цилиндр

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	520784	б) $4 Пи .$