PDF-версии: 
Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямые CA1 и AB1 перпендикулярны.
а) Докажите, что AA1 = AС.
б) Найдите расстояние между прямыми CA1 и AB1, если AC = 7, BC = 8.
Решение. а)
является проекцией наклонной 
на плоскость 
По теореме о трех перпендикулярах из перпендикулярности 
и 
следует перпендикулярность и 
Таким образом, в прямоугольнике 
диагонали перпендикулярны, поэтому он является квадратом. Следовательно, 
б) Пусть M — середина 
тогда искомое расстояние равно расстоянию от точки M до прямой 
поскольку прямая 
перпендикулярна 
Это расстояние равно половине высоты прямоугольного треугольника 
проведённой к гипотенузе:
Ответ: 28 : 9.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |