Тип 19 № 517458 
Числа и их свойства. Числа и их свойства
i
На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 4, или на цифру 8. Сумма написанных чисел равна 2786.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 4 или на 8?
б) Могут ли ровно четыре числа на доске оканчиваться на 8?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 8, может быть на доске?
Решение. а) Если на доске написано по 15 чисел, оканчивающихся на 4 и на 8, то их сумма оканчивается на 0. Это противоречит тому, что сумма 2786.
б) Пусть на доске ровно четыре числа, оканчивающихся на 8. Тогда на доске написано 26 чисел, оканчивающихся на 4. Их сумма не меньше, чем сумма 26 написанных чисел, оканчивающихся на 4: 
Это противоречит тому, что сумма равна 2786.
в) Пусть на доске n чисел, оканчивающихся на 8 и 30 − n, оканчивающихся на 4. Тогда сумма чисел, оканчивающихся на 4, не меньше суммы
Сумма чисел, оканчивающихся на 8, не меньше суммы
Таким образом, 
откуда 
так как 
Если на доске 8 чисел, оканчивающаяся на 8, и 22 числа, оканчивающихся на 4, то их сумма оканчивается на 2. Значит, чисел, оканчивающихся на 8, больше 8. Приведём пример 9 чисел, оканчивающихся на 8, и 21 число, оканчивающееся на 4, с суммой 2786: 8, 18, ..., 68, 78, 258, 4, 14, ..., 194, 204.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 9.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) нет; б) нет; в) 9.
517458
а) нет; б) нет; в) 9.
PDF-версии: