PDF-версии: 
Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K, так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки CK и BE пересекаются в точке O.
а) Докажите, что CO = KO.
б) Найти отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет 
площади трапеции ABCD.
Решение. а) Пусть прямые BC и AE пересекаются в точке L. Тогда треугольники AED и LEC равны, поскольку DE = CE, ∠AED = ∠LEC, ∠ADE = ∠LCE. Следовательно,
и четырехугольник KCLA — трапеция. Прямая BE содержит точку пересечения боковых сторон трапеции и середину ее основания AL. Тогда по замечательному свойству трапеции она содержит и середину основания КС — точку O. Таким образом, 
б) Поскольку треугольники AED и LEC равны, 
Из подобия треугольников KBC и ABL следует, что 
то есть 
Тогда
Ответ: 3 : 7.
Приведем другое решение пункта а).
Пусть прямые BC и AE пересекаются в точке L. Тогда треугольники AED и LEC равны, так как DE = CE, ∠AED = ∠LEC, ∠ADE = ∠LCE. Следовательно, отрезок BE — медиана ABL. Треугольники ABE и KBO подобны с коэффициентом подобия 
Треугольники LBE и CBO подобны с тем же коэффициентом подобия. Тогда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |