Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 517238

В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со стороной AB = 5 и диагональю BD = 9. Все боковые рёбра пирамиды равны 5. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка E, а на ребре AS — точка F так, что SF = BE = 4.

а) Докажите, что плоскость CEF параллельна ребру SB.

б) Плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от точки Q до плоскости ABC.

Спрятать решение

Решение.

а) Имеем DE=9 минус BE=5. Пусть прямая CE пересекает ребро AB в точке M. Треугольники BME и DCE подобны, поэтому  дробь: числитель: BM, знаменатель: DC конец дроби = дробь: числитель: BE, знаменатель: DE конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби , откуда BM = 4. Тогда AM = 1. Треугольники ABS и AMF подобны, значит, FM || SB. Поэтому прямая SB параллельна плоскости CEF.

б) Прямая QE является пересечением плоскостей CEF и SBD, тогда из доказанного в предыдущем пункте следует, что QE || SB. Тогда  дробь: числитель: DQ, знаменатель: QS конец дроби = дробь: числитель: DE, знаменатель: EB конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби . Пусть O — центр основания ABCD. Так как все боковые ребра пирамиды равны, SO — высота пирамиды. Имеем:

SO= корень из (SA в квадрате минус AO в квадрате ) = корень из (25 минус левая круглая скобка дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате ) = дробь: числитель: корень из (19) , знаменатель: 2 конец дроби .

Плоскость SDB перпендикулярна плоскости основания, и H — проекция точки Q на плоскость основания лежит на отрезке DO. Из подобия треугольников DQH и DSO находим

QH= дробь: числитель: DQ, знаменатель: DS конец дроби умножить на SO= дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби умножить на SO= дробь: числитель: 5 корень из (19) , знаменатель: 18 конец дроби .

Ответ:  дробь: числитель: 5 корень из (19) , знаменатель: 18 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 517200: 517238 525727 525746 Все