РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.

а)  Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 48 больше, чем в первый раз.

б)  Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 12 членов?

в)  Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?

Решение. а)  Пример: 1, 2, 3. Разность квадрата суммы и суммы квадратов равна 36 − 14  =  22. Если добавить число 4, то разность будет равна 100 − 30  =  70, что ровно на 48 больше, чем было.

б)  Обозначим члены прогрессии $a_1,a_2,...,a_n.$ Тогда разность, вычисленная математиком в первый раз, равна

$левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n правая круглая скобка в квадрате минус a_1 в квадрате минус a_2 в квадрате =2a_n левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n минус 1 правая круглая скобка плюс 2a_n минус 1 левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n минус 2 правая круглая скобка плюс$ $левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n правая круглая скобка в квадрате минус a_1 в квадрате минус a_2 в квадрате =2a_n левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n минус 1 правая круглая скобка плюс$
$плюс 2a_n минус 1 левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n минус 2 правая круглая скобка плюс$ $левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n правая круглая скобка в квадрате минус a_1 в квадрате минус$
$минус a_2 в квадрате =2a_n левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n минус 1 правая круглая скобка плюс$
$плюс 2a_n минус 1 левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n минус 2 правая круглая скобка плюс$

$плюс ... плюс 2a_3 левая круглая скобка a_1 плюс a_2 правая круглая скобка плюс 2a_2a_1.$

Когда к прогрессии добавили член $a_n плюс 1,$ то вычисленная во второй раз разность отличается от первой дополнительным слагаемым

$2a_n плюс 1 левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n правая круглая скобка =2 левая круглая скобка a_1 плюс nd правая круглая скобка дробь: числитель: 2a_1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d, знаменатель: 2 конец дроби n= левая круглая скобка a_1 плюс nd правая круглая скобка левая круглая скобка 2a_1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d правая круглая скобка n,$ $2a_n плюс 1 левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n правая круглая скобка =2 левая круглая скобка a_1 плюс nd правая круглая скобка дробь: числитель: 2a_1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d, знаменатель: 2 конец дроби n=$
$= левая круглая скобка a_1 плюс nd правая круглая скобка левая круглая скобка 2a_1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d правая круглая скобка n,$ $2a_n плюс 1 левая круглая скобка a_1 плюс a_2 плюс ... плюс a_n правая круглая скобка =$
$=2 левая круглая скобка a_1 плюс nd правая круглая скобка дробь: числитель: 2a_1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d, знаменатель: 2 конец дроби n=$
$= левая круглая скобка a_1 плюс nd правая круглая скобка левая круглая скобка 2a_1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d правая круглая скобка n,$

где d  — разность прогрессии.

Из условия следует, что $a_1\geqslant0$ и $d\geqslant1,$ поэтому

$левая круглая скобка a_1 плюс nd правая круглая скобка левая круглая скобка 2a_1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d правая круглая скобка n больше или равно n в квадрате левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка .$

Получаем неравенство $n в квадрате левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка \leqslant1440,$ откуда $n\leqslant11.$ Значит, 12 членов в начальной прогрессии быть не может.

в)  Из равенства $левая круглая скобка a_1 плюс nd правая круглая скобка левая круглая скобка 2a_1 плюс левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка d правая круглая скобка n=1440$ следует, что n является делителем числа 1440. Значит, $n не равно 11.$

Если n  =  10, получаем $левая круглая скобка a_1 плюс 10d правая круглая скобка левая круглая скобка 2a_1 плюс 9d правая круглая скобка =144.$ Если $d\geqslant2,$ то левая часть не меньше чем $90d в квадрате больше или равно 90 умножить на 4=360 больше 144.$ Следовательно, d  =  1. Получаем уравнение $2a_1 в квадрате плюс 29a_1 минус 54=0,$ которое не имеет целых решений. Если n  =  9, получаем $левая круглая скобка a_1 плюс 9d правая круглая скобка левая круглая скобка 2a_1 плюс 8d правая круглая скобка =160.$ Если $d\geqslant2,$ то левая часть не меньше чем $72d в квадрате больше или равно 72 умножить на 4=288 больше 160.$ Следовательно, d  =  1. Получаем уравнение $a_1 в квадрате плюс 13a_1 минус 44=0,$ которое не имеет целых решений. Если n  =  8, получаем $левая круглая скобка a_1 плюс 8d правая круглая скобка левая круглая скобка 2a_1 плюс 7d правая круглая скобка =180.$ Если $d\geqslant2,$ то левая часть не меньше чем $56d в квадрате больше или равно 56 умножить на 4=224 больше 180.$ Следовательно, d  =  1. Получаем уравнение $2a_1 в квадрате плюс 23a_1 минус 124=0,$ которое имеет единственный натуральный корень 4. Значит, прогрессия из восьми чисел 4, 5, 6, ..., 11 удовлетворяет условию задачи.

Ответ: а)  1, 2, 3; б)  нет; в)  8.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	515831	а)  1, 2, 3; б)  нет; в)  8.

Ключ