PDF-версии: 
а) Приведите пример такого натурального числа n, что числа n2 и (n + 16)2 дают одинаковый остаток при делении
б) Сколько существует трёхзначных чисел n с указанным в пункте а свойством?
в) Сколько существует двухзначных чисел m, для каждого из которых существует ровно 36 трёхзначных чисел n, таких, что n2 и (n + m)2 дают одинаковый остаток при делении
Решение. а) Например, число 17.
б) Если два числа дают одинаковых остаток при делении на 200, то их разность будет делиться на 200. Имеем:
Следовательно, 
делится на 25, откуда 
Тогда
Таким образом, существует 36 чисел.
в) По условию 
— целое, поэтому m — четное, 
Имеем:
— целое, m — двузначное, поэтому 
1) Пусть k = 25, тогда n может быть любым трехзначным нечетным числом, которых гораздо больше, чем 36.
2) Пусть 
но кратно пяти. Значит, (n + k) кратно 10. В зависимости от k подойдут либо все четные трехзначные числа, делящиеся на 5, либо нечетные, делящиеся на 5. В любом случае таких чисел больше 36.
3) Пусть k не кратно 5, k — нечетное, но сумма (n + k) кратна 50. Поскольку 
то (n + k) с учетом условия 
принимает все значения, кратные 50, причем на одно значение — одно значение m. Следовательно, для каждого k возможно 18n, что не подходит по условию задачи.
4) Пусть k не кратно 5, k — четное, и сумма (n + k) кратна 25. Рассуждая аналогично пункту 3) при 
и 
возможных значений (n + k) — 36, поэтому возможных значений n тоже 36. При 
и 
возможных значений (n + k) — 36, поэтому возможных значений n тоже 36. В таблице представлены подходящие k и соответствующие им m. Их 18.
| k | 6 | 8 | 12 | 14 | 16 | 18 | 22 | 24 | 26 | 28 | 32 | 34 | 36 | 38 | 42 | 44 | 46 | 48 |
| m | 12 | 16 | 24 | 28 | 32 | 36 | 44 | 48 | 52 | 56 | 64 | 68 | 72 | 76 | 84 | 88 | 92 | 96 |
Ответ: а) 17; б) 36; в) 18.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: ― обоснованное решение в п. а; ― пример в п. б; ― искомая оценка в п. в; ― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |