PDF-версии: 
На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина стороны AB.
а) Докажите, что 
б) Найдите расстояния от точки M до центров квадратов, если 
и 
Решение. а) Поскольку AM = MB, то MC — медиана треугольника ABC. Пусть AC = a, BC = b, 
тогда CM = 
Заметим, что 
(так как 
)
Тогда по теореме косинусов
то есть 
б) Проведем к стороне AC высоты BH и MT. Имеем 
Тогда из подобия треугольников ABH и AMT, получаем, MT = 
Пусть точка P лежит на прямой MT, PO2 ⊥ MP. Тогда TP = 
Тогда MP = 
Заметим, что 
Тогда 
По теореме Пифагора 
Аналогично получаем, что 
Ответ: б) 7.
Приведем решение пункта б) Сергея Фефелова.
Рассмотрим треугольник BCD. BC = 10, CD = AC = 6, 
тогда по теореме косинусов 
Рассмотрим треугольник BAD. M — середина AB, O2 — середина AD, тогда 
Аналогично получаем, что
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |