PDF-версии: 
Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Из вершины A опущены перпендикуляры AF, AH, AP и AQ на прямые DE, BE, CD и BC соответственно.
а) Докажите, что 
б) Найдите AH, если 
и 
Решение. а) Будем пока считать, что F и Q лежат на продолжениях DE и CB соответственно а остальные точки — на отрезках. Тогда четырехугольники FEHA и APCQ вписанные (имеют по два противоположных прямых угла), откуда
что и требовалось.
Пусть теперь Q лежит на продолжении CB, а остальные точки — на отрезках. Тогда четырехугольники FEHA и APCQ вписанные (имеют два противоположных прямых угла и два равных прямых угла между стороной и диагональю первый), откуда 
что и требовалось.
Аналогично разбираются остальные случаи расположения точек.
б) Углы QCA и HEA равны как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу AB, поэтому прямоугольные треугольники CQA и AHE подобны. Углы AEF и ACP равны, поскольку оба они в сумме с углом AED дают 180°. Следовательно, подобны прямоугольные треугольники AFE и APC. Тогда верны пропорции 
и 
Разделим первую на вторую, получим 
откуда 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |