PDF-версии: 
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер AA1 = 7, AB = 16, AD = 6. Точка K — середина ребра C1D1.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку B перпендикулярно прямой AK, пересекает отрезок A1K.
б) Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью ABC.
Решение. а) Введем координаты с началом в точке A и осями, направленными по ребрам 
Тогда координаты вершин будут 
Уравнение прямой 
тогда имеет вид 
(последнее означает, что у всех точек на прямой аппликата равна 7.
Уравнение прямой AK тогда имеет вид 
поэтому перпендикулярная к ней плоскость имеет уравнение 
причем нужно выбрать 
чтобы точка B лежала в этой плоскости.
Найдем теперь точку перечения прямой и плоскости 
Мы знаем, что 
поэтому 
поэтому точка лежит между точками 
и K.
б) Найдем по формуле угол между плоскостью 
и плоскостью 
(ABC).
Получим
поэтому 
и 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| В результате использования верных утверждений и формул получен верный ответ. Обоснование не содержит неверных утверждений. | 2 |
| В результате использования верных утверждений и формул задача доведена до ответа, но получен неверный ответ в результате допущенной вычислительной ошибки или описки. Обоснование не содержит неверных утверждений* Все промежуточные вычисления и полученный ответ верны, но обоснование отсутствует или содержит неверные утверждения. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
*Критерии распространяются и на случай использования координатного метода