PDF-версии: 
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 стороны основания равны 5, а боковые рёбра равны 11.
а) Докажите, что прямые CA1 и C1D1 перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины C, A1 и F1.
Решение. а) Поскольку ABCDEFA1B1C1D1E1F1 — правильная шестиугольная призма, то ABCDEF — правильный шестиугольник. Тогда ∠CBA = 120°. По теореме косинусов имеем
Заметим, что A1A ⊥ (ABC), следовательно, AA1 ⊥ CA. По теореме Пифагора CA1 = 14.
Поскольку ABCDEF — правильный шестиугольник, DA = 2AB = 10. Тогда 
По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник CA1D прямоугольный. Тогда CD ⊥ CA1. Поскольку С1D1 || CD, имеем C1D1 ⊥ CA1.
б) Поскольку ABCDEF — правильный шестиугольник, AC ⊥ CD, поэтому угол A1CA равен углу между искомым сечением и плоскостью ABCDEF. Поскольку A1A ⊥ CA, 
Площадь шестиугольника равна 
Тогда, по теореме о площади проекции, площадь искомого сечения 
Ответ: б) 105.
Примечание.
Пункт а), конечно, можно доказать и проще, сославшись на теорему о трех перпендикулярах. Проекцией прямой CA1 на плоскость верхнего основания является прямая C1A1, перпендикулярная прямой C1D1.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |