РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

$2 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка плюс 4 синус x плюс корень из: начало аргумента: синус x конец аргумента плюс 2=a умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 16, знаменатель: 1 плюс синус x конец дроби правая круглая скобка$

не имеет корней.

Решение. Заметим, что при всех допустимых значениях переменной x ( $синус x\geqslant0$ ), левая часть уравнения положительна, также положительно значение выражения $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 16, знаменатель: 1 плюс синус x конец дроби правая круглая скобка .$ Поэтому при $a\leqslant0$ решений нет.

Рассмотрим случай $a больше 0$ :

Пусть $t= синус x,$ тогда с учётом ОДЗ $0 меньше или равно t \leqslant1.$

Функция $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =2 в степени t плюс 4t плюс корень из t плюс 2$ − возрастающая (как сумма возрастающих функций)

$f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =3,$ $f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =9$

Функция $g левая круглая скобка t правая круглая скобка =a логарифм по основанию 2 левая круглая скобка дробь: числитель: 16, знаменатель: 1 плюс t конец дроби правая круглая скобка$ − убывающая (композиция функций: возрастающая от убывающей)

$g левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =4a,$ $g левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =3a.$

Для того чтобы уравнение не имело корней достаточно, чтобы либо $4a меньше 3$ (рис. 1), либо $3a больше 9$ (рис. 2). В остальных случаях будем всегда иметь одно решение, относительно $t.$

Из первого условия получаем $0 меньше a меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби$ из второго − $a больше 3$

Объединяя все случаи получаем ответ: $a меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби$ или $a больше 3$

Приведём другое решение.

Обозначим $синус x$ за $t принадлежит левая квадратная скобка 0;1 правая квадратная скобка$ (отрицательные значения синуса нельзя брать из-за корня)

$2 в степени t плюс 4t плюс корень из: начало аргумента: t конец аргумента плюс 2=a логарифм по основанию 2 дробь: числитель: 16, знаменатель: 1 плюс t конец дроби .$

Очевидно при отрицательных $a$ части имеют разные знаки и поэтому не равны. При $a=0$ правая часть не бывает равна нулю. При положительных $a$ с ростом $t$ растет правая часть и уменьшается левая. Значит, правая часть принимает значения от $2 в степени 0 плюс 2=3$ до $2 в степени 1 плюс 4 плюс 1 плюс 2=9,$ а левая  — от $3a$ до $4a.$ Нужно, чтобы эти промежутки значений не пересеклись (если пересекутсяя  — корень будет, поскольку обе части непрерывны, а в концах отрезка неравенство между частями в разные стороны). Значит, либо $4a меньше 3,$ либо $3a больше 9.$

Ответ: $a меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби$ или $a больше 3.$

Примечание: На рисунках изображены, конечно, не графики функций, (графики этих функций − кривые линии), а схемы, изображающие возрастание и убывание функций.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	515139	$a меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби$ или $a больше 3.$

Ключ