Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1.
А) Докажите, что прямая B1C1 перпендикулярна линии пересечения плоскостей ABC1 и АСВ1.
Б) Найдите угол между плоскостями ABC1 и ACB1, если известно, что AB = 2, AA1 = 2.
Решение. а) Обозначим за 
точку пересечения 
и 
Очевидно, что она, как и 
лежит в обеих плоскостях, поэтому прямая пересечения это 
Ее проекция на верхнее основание призмы — медиана (а значит и высота треугольника 
). По теореме о трех перпендикулярах AO перпендикулярен 
б) Проведем перпендикуляры к 
из точек 
и 
Они упадут в одну точку (назовем ее H), поскольку призма симметрична относительно плоскости 
Затем вычислим угол между ними. В треугольнике 
имеем 
Тогда площадь равнобедренного треугольника 
равна
Значит,
Тогда по теореме косинусов в треугольнике 
имеем
откуда 
Угол между плоскостями смежен к этому, поскольку не бывает тупым.
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |