РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 514712 Добавить в вариант

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Числа и их свойства. Числа и их свойства

Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

а)  Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно $дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ?$

б)  Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно $дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби ?$

в)  Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине число равно 18?

Решение. Как известно, треугольник тупоугольный тогда и только тогда, когда сумма квадратов длин его меньших сторон меньше квадрата большей стороны.

а)  Да, например, в треугольнике со сторонами 15, 10, 11 выполнено $15 меньше 10 плюс 11$ и $15 в квадрате больше 10 в квадрате плюс 11 в квадрате .$

б)  Нет. Пусть большая сторона равна 5x, а меньшая 4x. Тогда средняя не меньше 4x, но $левая круглая скобка 4x правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 4x правая круглая скобка в квадрате больше левая круглая скобка 5x правая круглая скобка в квадрате .$

в)  Пусть меньшая сторона равна a, а большая равна c. Тогда $c в квадрате больше 324 плюс a в квадрате ,$ $c меньше 18 плюс a$ и нужно минимизировать $дробь: числитель: c, знаменатель: a конец дроби .$

Рассмотрим любую подходящую пару чисел $левая круглая скобка a,c правая круглая скобка$ и увеличим оба числа на единицу. Тогда по-прежнему $левая круглая скобка c плюс 1 правая круглая скобка в квадрате больше 324 плюс левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате$ (к правой части прибавили $2c плюс 1,$ а к левой $2a плюс 1$ ), $c плюс 1 меньше 18 плюс левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка$ (к обеим частям прибавили поровну), а отношение уменьшилось (было $1 плюс дробь: числитель: c минус a, знаменатель: a конец дроби ,$ стало $1 плюс дробь: числитель: c минус a, знаменатель: a плюс 1 конец дроби правая круглая скобка .$ Поэтому можно увеличивать a, пока оно не станет равно 17.

Теперь будем просто уменьшать c, пока это возможно, то есть пока $c в квадрате больше 324 плюс 289=613.$ Наименьшее такое c это 25. Поэтому ответ $дробь: числитель: 25, знаменатель: 17 конец дроби .$

Ответ: а) a  =  15, b  =  10, c  =  11; б) нет; в) $дробь: числитель: 25, знаменатель: 17 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а) a  =  15, b  =  10, c  =  11; б) нет; в) $дробь: числитель: 25, знаменатель: 17 конец дроби .$

514712

а) a  =  15, b  =  10, c  =  11; б) нет; в) $дробь: числитель: 25, знаменатель: 17 конец дроби .$

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко 2016

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	514712	а) a  =  15, b  =  10, c  =  11; б) нет; в) $дробь: числитель: 25, знаменатель: 17 конец дроби .$