PDF-версии: 
Найдите все a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.
Решение. Второе уравнение дает 
или 
Первое равносильно 
при условии 
то есть 
Подставим сюда выражения для y.
Случай 1. Тогда имеем 
Неравенство 
выполняется при 
и при 
Итак, в этом случае будет один корень при таких a и не будет корней при 
Случай 2. 
Тогда имеем 
При 
нужно иметь два подходящих корня. Поскольку 
— верно, то корни есть. Их сумма и произведение
и 
положительны, значит, и корни положительны, поэтому они оба подходят.
При 
нужно иметь два подходящих корня у уравнения 
Их нет.
При 
нужно иметь два подходящих корня у уравнения 
Их нет.
При нужно иметь один подходящий корень. Поскольку есть два корня и они разных знаков (
), то нужно чтобы отрицательный корень был не больше 
то есть чтобы значение при 
было отрицательно (ветви параболы 
направлены вверх). 
Это верно.
При 
нужно иметь один подходящий корень. При 
корней нет. При 
корень равен 
и он подходит. При 
есть два корня, поэтому нужно, чтобы значение при было положительно (тогда 
лежит между корнями, поскольку ветви параболы направлены вниз). 
Это неверно.
Итак, нужно количество корней будет при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |