а) Можно ли правильный пятиугольник разрезать на параллелограммы?
б) Можно ли правильный пятиугольник разрезать на трапеции?
в) Найдите наименьшее нечётное n, для которого существует n-угольник, который можно разрезать на параллелограммы.
Решение. а) Рассмотрим произвольный параллелограмм, примыкающий к стороне пятиугольника. Противоположная его сторона параллельна стороне пятиугольника и покрыта сторонами других параллелограммов. Выберем один из них. Его противоположная сторона параллельна стороне пятиугольника и так далее. В итоге мы построим цепочку параллелограммов, которая никогда не закончится — она не может выйти снова на границу пятиугольника, поскольку у него нет параллельных сторон.
б) Да, это возможно. Проведем через центр O пятиугольника 
прямые, параллельные его сторонам. Они пересекут по две стороны пятиугольника каждая. Оставим из этих точек пересечения по одной на каждой стороне — на 
ближайшую к 
(пусть это 
), на 
ближайшую к 
(пусть это 
) и так далее. Тогда 
— пять трапеций, покрывающие без пересечений пятиугольник.
в) Как следует из решения пункта а), у такого многоугольника для каждой стороны должна найтись параллельная ей. Очевидно, это невозможно для треугольника. Для пятиугольника тоже — все стороны не могут разбиваться на пары параллельных, значит, есть три параллельные стороны, но тогда две из них соседние.
Семиугольник построить можно. Рассмотрим правильный шестиугольник 
продлим сторону за точку до точки E, проведем через E и 
прямые, параллельные и и отметим их точку пересечения F. Тогда 
подходит — 
будет параллелограммом, а оставшаяся часть — правильный шестиугольник, который легко разбить на три параллелограмма, соединив центр с вершинами 
Ответ: а) нет; б) да; в) 7.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |