РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 19 № 514560 Добавить в вариант

Источник: ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 509 (часть 2)

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Числа и их свойства. Последовательности и прогрессии

Последовательность $a_1, a_2,...,a_n левая круглая скобка n\geqslant3 правая круглая скобка$ состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.

а)  Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна 60.

б)  Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?

в)  Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n  =  8?

Решение. а)  Например, последовательность 4, 9, 13, 16, 18 удовлетворяет условию задачи, а сумма её членов равна 60.

б)  Например, последовательность 4, 9, 13, 13, 9 удовлетворяет условию задачи.

в)  Для $2 меньше или равно k меньше или равно 7$ выполнено неравенство

$дробь: числитель: a_k минус 1 плюс a_k плюс 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше a_k равносильно a_k минус 1 плюс a_k плюс 1 меньше 2a_k равносильно$ $равносильно a_k плюс 1 минус a_k меньше a_k минус a_k минус 1.$

То есть последовательность разностей соседних членов последовательности убывает. Пусть

$d_k=a_k плюс 1 минус a_k.$ Тогда

$d_k меньше или равно d_k минус 1 минус 1 меньше или равно d_k минус 2 минус 2\leqslant... меньше или равно d_1 минус k плюс 1,$

$a_1=a_k минус d_k минус 1 минус ... минус d_1 меньше или равно a_k минус левая круглая скобка d_k плюс 1 правая круглая скобка минус ... минус левая круглая скобка d_k плюс k минус 1 правая круглая скобка =a_k минус левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка d_k минус дробь: числитель: k левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $a_1=a_k минус d_k минус 1 минус ... минус d_1 меньше или равно a_k минус левая круглая скобка d_k плюс 1 правая круглая скобка минус ... минус левая круглая скобка d_k плюс k минус 1 правая круглая скобка =$
$=a_k минус левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка d_k минус дробь: числитель: k левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $a_1=$
$=a_k минус d_k минус 1 минус ... минус d_1 меньше или равно a_k минус левая круглая скобка d_k плюс 1 правая круглая скобка минус ... минус левая круглая скобка d_k плюс k минус 1 правая круглая скобка =$
$=a_k минус левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка d_k минус дробь: числитель: k левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $a_8=a_k плюс d_k плюс ... плюс d_7 меньше или равно a_k плюс d_k плюс левая круглая скобка d_k минус 1 правая круглая скобка плюс ... плюс левая круглая скобка d_k минус 7 плюс k правая круглая скобка =$ $=a_k плюс левая круглая скобка 8 минус k правая круглая скобка d_k минус дробь: числитель: левая круглая скобка 7 минус k правая круглая скобка левая круглая скобка 8 минус k правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби .$

Заметим, что $a_1 больше или равно 1$ и $a_8 больше или равно 1,$ откуда

$a_k минус левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка d_k минус дробь: числитель: k левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби больше или равно 1,$ $a_k плюс левая круглая скобка 8 минус k правая круглая скобка d_k минус дробь: числитель: левая круглая скобка 7 минус k правая круглая скобка левая круглая скобка 8 минус k правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби больше или равно 1.$

Умножив первое неравенство на $8 минус k,$ а второе на $k минус 1$ и сложив их, получаем:

$7a_k минус дробь: числитель: 7 левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 8 минус k правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби \geqslant7 равносильно a_k больше или равно дробь: числитель: левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 8 минус k правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби плюс 1.$

Таким образом, $a_1 больше или равно 1,$ $a_2 больше или равно 4,$ $a_3 больше или равно 6,$ $a_4 больше или равно 7,$ $a_5 больше или равно 7,$ $a_6 больше или равно 6,$ $a_7 больше или равно 4,$ $a_8 больше или равно 1,$ а их сумма не меньше 36. Последовательность 1, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 1 удовлетворяет условию задачи, а сумма её членов равна 36.

Ответ: а) 4, 9, 13, 16, 18; б) да, например, 4, 9, 13, 13, 9; в) 36.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — в п. в приведён пример последоватеоьности, сумма членов которой равна 70; — в п. в обоснованно, что не существует последовательности, сумма членов которой меньше 70	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ответ: а) 4, 9, 13, 16, 18; б) да, например, 4, 9, 13, 13, 9; в) 36.

514560

а) 4, 9, 13, 16, 18; б) да, например, 4, 9, 13, 13, 9; в) 36.

Источник: ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 509 (часть 2)

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	514560	а) 4, 9, 13, 16, 18; б) да, например, 4, 9, 13, 13, 9; в) 36.