РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 514540 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ  — 2016 по математике. Основная волна 06.06.2016 Вариант 412. Запад (C часть);

ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 414.

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.6 Логарифмические уравнения.

Уравнения. Тригонометрия и логарифмы

а)  Решите уравнение $2\log в квадрате _3 левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка минус 5 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка плюс 2=0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Пусть $t= логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка ,$ тогда исходное уравнение запишется в виде $2t в квадрате минус 5t плюс 2=0,$ откуда $t=2$ или $t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

При $t=2$ получим: $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка =2,$ значит, $косинус x= дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби ,$ что невозможно.

При $t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ получим: $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ значит, $косинус x= дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби ,$ откуда $x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k$ или $x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z .$

б)  C помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Получим числа: $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

514540

а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$