PDF-версии: 
В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КН соответственно.
а) Докажите, что прямые ЕН и АС параллельны.
б) Найдите отношение ЕН : АС, если угол АВС равен 30°.
Решение. Заметим, что отрезок AC виден из точек K и M под углом 90°, поэтому точки М, К, С и А лежат на одной окружности, диаметром которой является отрезок АС. Аналогично точки M, K, H, E лежат на окружности, диаметром которой является MK.
Пусть 
Тогда 
поскольку они опираются на одну дугу KC в окружности, описанной вокруг четырёхугольника AMKC. Кроме того, 
поскольку они опираются на одну дугу KH в окружности, описанной вокруг четырёхугольника MKHE. 
поэтому прямые EH и АС параллельны, поскольку это соответственные углы при пересечении EH и AC секущей OA. Это и требовалось доказать.
б) Используем подобие треугольников. Треугольники MBK и CBA подобны с коэффициентом подобия 
Треугольники OEH и OMK также подобны с тем же коэффициентом подобия. Кроме того, подобны треугольники OMK и AOC, поэтому подобны треугольники OEH и OAC, причем коэффициент подобия равен 
Тогда
Тем самым искомое отношение длин сторон равно 3:4.
Приведем другое решение пункта б).
Пусть КС = 2x, тогда из треугольника KHC находим HC = X, из ΔOKC: ∠KOC = 30°, тогда OC = 4x, откуда
В силу подобия ΔOEH и ΔОАС получаем:
Приведем решение Александра Шевкина (Москва).
а) Построим вспомогательную окружность с диаметром MK. Она пройдёт через точки E и H, так как 
Построим вспомогательную окружность с диаметром AC. Она пройдёт через точки M и K, т. к. 
По свойству вписанных углов 
а 
значит, 
А это соответственные углы при прямых ЕН и АС и секущей AE. Из равенства этих углов следует параллельность прямых ЕН и АС, что и требовалось доказать.
б) Прямая MK, проходящая через основания высот треугольника ABC, отсекает треугольник KMB, подобный треугольнику ABC. Коэффициент подобия равен 
Рассмотрим треугольники MOK и EOH. Они подобны по двум углам: 
(свойство вписанных углов), 
(вертикальные). Коэффициент подобия равен 
Умножив полученные равенства
и 
найдём отношение 
оно равно 
Ответ: 
Приведем решение Софии Николенко (Москва).
а) Пусть высоты АК и СМ пересекаются в точке О. Рассмотрим треугольник AMO. В нем ME является высотой, проведенной к гипотенузе, поэтому треугольники AME и OME подобны, а углы MAE и OME равны. Пусть эти углы равны α, тогда ∠MOE = 90° − α. Углы KOH и MOE равны 90° − α, тогда угол OKH равен α. Углы EMO и OKH равны, поскольку опираются на одну дугу EH, таким образом, четырехугольник EMKH можно вписать в окружность. Четырехугольник AMKC также можно вписать в окружность с диаметром AC. Углы KAC и KMC равны, углы KEH и KMC тоже равны, поэтому угол KEH равен углу KAC. Углы KEH и KAC являются соответственными при пересечении прямых EH и AC секущей AO. Таким образом, прямые EH и AC параллельны.
б) Рассмотрим треугольник AMO, пусть ME = x, тогда
Отсюда 
Рассмотрим треугольник AME, в нем: 
Треугольники AOC и EOH подобны по двум углам. Значит, 
откуда 
Приведем решение пункта а) Дениса Чернышева (Тюмень).
а) Докажем параллельность, используя теорему, обратную теореме о пропорциональных отрезках для сторон OA и OC в треугольнике AOC. Для этой цели установим подобие иных треугольников, имеющих с AOC общие стороны (части сторон).
По признаку параллельности, две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны друг другу. Значит, прямая MB параллельна прямой KH. При этих параллельных равны соответственные углы: 
Аналогично прямая KB параллельна прямой EM, а потому 
Следовательно, прямоугольные треугольники CKH и EMA подобны по двум углам, а значит, 
Прямоугольные треугольники MOE и KOH также подобны, поскольку их острые углы MOE и KOH равны как вертикальные. В силу подобия стороны этих треугольников пропорциональны: 
Из двух полученных равенств следует третье: 
Итак, в треугольнике AOC прямые AC и EH делят общий угол AOC, начиная от вершины, на пропорциональные отрезки. Следовательно, по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, эти прямые параллельны, что и требовалось доказать.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |