РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 514446 Добавить в вариант

Источники:

Задания 13 (С1) ЕГЭ 2017;

ЕГЭ — 2016 по математике. Основная волна 06.06.2016. Вариант 410. Запад;

Задания 13 (С1) ЕГЭ 2016;

ЕГЭ по математике 27.03.2023. Досрочная волна. Дальний Восток;

Задания 13 ЕГЭ–2023.

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.6 Логарифмические уравнения.

Уравнения. Тригонометрия и логарифмы

а)  Решите уравнение $2 логарифм по основанию 3 в квадрате левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка минус 5 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка плюс 2=0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Пусть $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка =t,$ тогда $2t в квадрате минус 5t плюс 2=0,$ откуда $t=2$ или $t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Далее имеем:

$совокупность выражений логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка =2, логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2 косинус x=9, 2 косинус x= корень из 3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус x = дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби , косинус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . \underset| косинус x|\leqslant1\mathop равносильно$
$\underset| косинус x|\leqslant1\mathop равносильно косинус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z . конец совокупности .$ $совокупность выражений логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка =2, логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2 косинус x=9, 2 косинус x= корень из 3 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x = дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби , косинус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . \underset| косинус x|\leqslant1\mathop равносильно$
$\underset| косинус x|\leqslant1\mathop равносильно косинус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z . конец совокупности .$

б)  Найдём на числовой оси корни, лежащие на отрезке $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$ :

Из рисунка видно, что заданному отрезку принадлежат корни $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби$ и $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка \left минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Приведем другое решение пункта б).

Выясним, какие из найденных корней принадлежат отрезку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ,$ при помощи тригонометрической окружности. Подходят: $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

514446

а) $левая фигурная скобка \left минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k: k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$