РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений 2x минус 2y минус 2=|x в квадрате плюс y в квадрате минус 1|,y=a левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец системы .$

имеет более двух решений.

Решение. Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы. Рассмотрим два случая.

Если $x в квадрате плюс y в квадрате больше 1,$ то, раскрывая модуль, находим:

$2x минус 2y минус 2=x в квадрате плюс y в квадрате минус 1 равносильно x в квадрате минус 2x плюс y в квадрате плюс 2y плюс 1=0 равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка в квадрате =1.$ $2x минус 2y минус 2=x в квадрате плюс y в квадрате минус 1 равносильно$
$равносильно x в квадрате минус 2x плюс y в квадрате плюс 2y плюс 1=0 равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка в квадрате =1.$ $2x минус 2y минус 2=x в квадрате плюс y в квадрате минус 1 равносильно$
$равносильно x в квадрате минус 2x плюс y в квадрате плюс 2y плюс 1=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка в квадрате =1.$

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке $O_1 левая круглая скобка 1; минус 1 правая круглая скобка$ и радиусом 1.

Если $x в квадрате плюс y в квадрате меньше или равно 1,$ то

$2x минус 2y минус 2=1 минус x в квадрате минус y в квадрате равносильно x в квадрате плюс 2x плюс y в квадрате минус 2y минус 3=0 равносильно левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка в квадрате =5.$ $2x минус 2y минус 2=1 минус x в квадрате минус y в квадрате равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 2x плюс y в квадрате минус 2y минус 3=0 равносильно левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка в квадрате =5.$ $2x минус 2y минус 2=1 минус x в квадрате минус y в квадрате равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 2x плюс y в квадрате минус 2y минус 3=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 1 правая круглая скобка в квадрате =5.$

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке $O_2 левая круглая скобка минус 1;1 правая круглая скобка$ и радиусом $корень из 5 .$

Эти окружности пересекаются в двух точках $A левая круглая скобка 1;0 правая круглая скобка$ и $B левая круглая скобка 0; минус 1 правая круглая скобка ,$ лежащих на окружности $x в квадрате плюс y в квадрате =1,$ поэтому в первом случае получаем дугу $\omega_1$ с концами в точках A и B, во втором  — дугу $\omega_2$ с концами в тех же точках (см. рис.)

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, которая проходит через точку A и угловой коэффициент который равен a.

При $a=1$ прямая m проходит через точки A и B, то есть исходная система имеет два решения.

При $a=2$ прямая m перпендикулярна прямой O₂A, угловой коэффициент которой равен $минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ значит, прямая m касается дуги $\omega_2$ в точке A и пересекает дугу $\omega_1$ в двух точках (одна из которых  — точка A), то есть исходная система имеет два решения.

При $1 меньше a меньше 2$ прямая m пересекает каждую из дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ в точке A и ещё в одной точке, отличной от точки B, то есть исходная система имеет три решения.

При $0 меньше или равно a меньше 1$ прямая m не пересекает дуги $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках, отличных от точки A, то есть исходная система имеет одно решение.

При $a меньше 0$ или $a больше 2$ прямая m пересекает дугу $\omega_1$ в двух точках и не пересекает дугу $\omega_2$ в точках, отличных от точки A, то есть исходящая система имеет два решения.

Значит, исходная система имеет более двух решений при $1 меньше a меньше 2.$

Ответ: $1 меньше a меньше 2.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждений получено множество значений a, отличающихся от искомого только включением точки $a=1$	3
При всех значениях a верно найдено количество решений системы в одном из двух случаев, возникающих при раскрытии модуля	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг окружностей и прямых (аналитически или графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решений	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

№ п/п	№ задания	Ответ
1	514386	$1 меньше a меньше 2.$

Ключ