РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 513921 Добавить в вариант

Источники:

Задания 15 (С3) ЕГЭ 2016;

ЕГЭ по математике 16.04.2016. Досрочная волна, резервный день. Вариант А. Ларина (часть 2).

Классификатор алгебры: Логарифмические неравенства, Неравенства смешанного типа, Показательные уравнения и неравенства

Методы алгебры: Метод интервалов, Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Неравенства. Логарифмы и показательные выражения

Решите неравенство $левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 6 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 0,25 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс 2 правая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка \leqslant0.$

Решение. Применим теоремы о знаках на ОДЗ:

$\textrmsgn логарифм по основанию a b\undersetОДЗ\mathop=\textrmsgn левая круглая скобка левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка b минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка ,$

$\textrmsgn левая круглая скобка a в степени b минус 1 правая круглая скобка \undersetОДЗ\mathop=\textrmsgn левая круглая скобка левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка умножить на b правая круглая скобка .$

Имеем:

$система выражений 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс 2 правая круглая скобка минус 3 больше 0, левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 6 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс 2 правая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка меньше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс 2 правая круглая скобка больше 3, левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс 1 правая круглая скобка \geqslant0 конец системы . равносильно$ $система выражений 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс 2 правая круглая скобка минус 3 больше 0, левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 6 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс 2 правая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка меньше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс 2 правая круглая скобка больше 3, левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс 1 правая круглая скобка \geqslant0 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений 4 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка больше дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка * правая круглая скобка , левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате больше или равно 0. конец системы .$

Неравенство (⁎) верно при всех x, поскольку его левая часть не меньше 1, а решение второго будет выглядеть так:

Приведем другое решение.

Заметим, что $x в квадрате плюс 2x плюс 2= левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 1 больше или равно 1,$ откуда $4 в степени левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x плюс 2 правая круглая скобка минус 3 больше или равно 4 в степени 1 минус 3=1.$ Поэтому второй множитель определен при всех x и, кроме того, при $x= минус 1$ он равен нулю (и вся левая часть вместе с ним). При прочих x этот множитель меньше нуля, поэтому получаем:

$4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 6 правая круглая скобка минус 1 больше или равно 0 равносильно 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 6 правая круглая скобка больше или равно 4 в степени 0 равносильно x в квадрате минус x минус 6 больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений x меньше или равно минус 2, x больше или равно 3. конец совокупности .$ $4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 6 правая круглая скобка минус 1 больше или равно 0 равносильно 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 6 правая круглая скобка больше или равно 4 в степени 0 равносильно$
$равносильно x в квадрате минус x минус 6 больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений x меньше или равно минус 2, x больше или равно 3. конец совокупности .$ $4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 6 правая круглая скобка минус 1 больше или равно 0 равносильно 4 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 6 правая круглая скобка больше или равно 4 в степени 0 равносильно$
$равносильно x в квадрате минус x минус 6 больше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений x меньше или равно минус 2, x больше или равно 3. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка минус 1 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 3; бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка минус 1 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка минус 1 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 3; бесконечность правая круглая скобка .$

513921

$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка минус 1 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$