PDF-версии: 
Через вершины А, В, С параллелограмма ABCD со сторонами AB = 3 и BC = 5 проведена окружность, пересекающая прямую BD в точке E, причем BE = 9.
а) Докажите, что BE > BD.
б) Найдите диагональ BD.
Решение. а)
что и требовалось доказать.
б) Как следует из пункта а, точка E лежит на продолжении диагонали BD за точку D. Заметим, что угол A острый (иначе окружность пересекает диагональ внутри параллелограмма). Продлим сторону AD до пересечения с окружностью в точке K. Тогда ABCK — вписанная трапеция, значит, 
Обозначим BD за x. Тогда 
(по теореме о пересекающихся хордах). Тогда высота равнобедренного треугольника CDK равна 
Она же является высотой трапеции и треугольника BAD. Найдем теперь двумя способами (через высоту и по формуле Герона) площадь треугольника ABD и приравняем их.
или 
Очевидно,
и 
поэтому треугольник не получится остроугольным. Значит, единственный возможный ответ 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |