РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 513765 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 147

Классификатор алгебры: Иррациональные неравенства

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство $корень из: начало аргумента: 7 минус логарифм по основанию 2 x в квадрате конец аргумента плюс логарифм по основанию 2 x в степени 4 больше 4.$

Решение. Сделаем замену $логарифм по основанию 2 x в квадрате =t.$ Получим

$корень из: начало аргумента: 7 минус t конец аргумента плюс 2t больше 4 равносильно корень из: начало аргумента: 7 минус t конец аргумента больше 4 минус 2t.$

Очевидно, при $t принадлежит левая круглая скобка 2;7 правая квадратная скобка$ неравенство будет выполнено, а при $t больше 7$ неравенство не определено. При $t меньше или равно 2$ преобразуем неравенство:

$корень из: начало аргумента: 7 минус t конец аргумента больше 4 минус 2t равносильно 7 минус t больше 16 минус 16t плюс 4t в квадрате равносильно$
$равносильно 4t в квадрате минус 15t плюс 9 меньше 0 равносильно левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 4t минус 3 правая круглая скобка меньше 0 равносильно дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби меньше t меньше 3.$ $корень из: начало аргумента: 7 минус t конец аргумента больше 4 минус 2t равносильно 7 минус t больше 16 минус 16t плюс 4t в квадрате равносильно$
$равносильно 4t в квадрате минус 15t плюс 9 меньше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 4t минус 3 правая круглая скобка меньше 0 равносильно дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби меньше t меньше 3.$

Учитывая условие $t меньше или равно 2$ и объединяя с $t принадлежит левая круглая скобка 2;7 правая квадратная скобка ,$ получаем ответ $t принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ,7 правая квадратная скобка .$

Таким образом, $логарифм по основанию 2 x в квадрате принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ,7 правая квадратная скобка ,$ откуда:

$x в квадрате принадлежит левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка ; 2 в степени левая круглая скобка 7 правая круглая скобка правая квадратная скобка равносильно |x| принадлежит левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка ; 2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая квадратная скобка равносильно x принадлежит левая квадратная скобка минус 2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ; минус 2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка ; 2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая квадратная скобка минус 2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ; минус 2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка ; 2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

513765

$левая квадратная скобка минус 2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка ; минус 2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка ; 2 в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка правая квадратная скобка .$