РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 513605 Добавить в вариант

Источник: ЕГЭ по математике 28.03.2016. Досрочная волна, вариант 101

Классификатор алгебры: Показательные уравнения

Методы алгебры: Группировка, Замена переменной

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.5 Показательные уравнения;

2.2.4 Логарифмические неравенства.

Уравнения. Показательные уравнения

а)  Решите уравнение $27 в степени x минус 5 умножить на 9 в степени x минус 3 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс 45=0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка логарифм по основанию 3 4; логарифм по основанию 3 10 правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Разложим левую часть на множители:

$27 в степени x минус 5 умножить на 9 в степени x минус 3 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс 45=0 равносильно$
$равносильно 27 в степени x минус 5 умножить на 9 в степени x минус 9 умножить на 3 в степени x плюс 45=0 равносильно$

$равносильно 9 в степени x левая круглая скобка 3 в степени x минус 5 правая круглая скобка минус 9 левая круглая скобка 3 в степени x минус 5 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 3 в степени x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 9 в степени x минус 9 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений 3 в степени x =5,9 в степени x =9 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= логарифм по основанию 3 5,x=1. конец совокупности .$ $равносильно 9 в степени x левая круглая скобка 3 в степени x минус 5 правая круглая скобка минус 9 левая круглая скобка 3 в степени x минус 5 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 3 в степени x минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 9 в степени x минус 9 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений 3 в степени x =5,9 в степени x =9 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= логарифм по основанию 3 5,x=1. конец совокупности .$

б)  Поскольку $1 меньше логарифм по основанию 3 4 меньше логарифм по основанию 3 5 меньше логарифм по основанию 3 10,$ отрезку $левая квадратная скобка логарифм по основанию 3 4; логарифм по основанию 3 10 правая квадратная скобка$ принадлежит только корень $логарифм по основанию 3 5.$

Ответ: а) $левая фигурная скобка 1; логарифм по основанию 3 5 правая фигурная скобка ;$ б) $логарифм по основанию 3 5.$

Примечание.

Можно было ввести замену $t=3 в степени x ,$ получить уравнение и решить его разложением на множители:

$t в кубе минус 5t в квадрате минус 9t плюс 45=0 равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 5 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений t=5,t=\pm3. конец совокупности .$ $t в кубе минус 5t в квадрате минус 9t плюс 45=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 5 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений t=5,t=\pm3. конец совокупности .$ $t в кубе минус 5t в квадрате минус 9t плюс 45=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка t в квадрате минус 9 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 5 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений t=5,t=\pm3. конец совокупности .$

Возвращаясь к исходной переменной, получаем решение.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

513605

а) $левая фигурная скобка 1; логарифм по основанию 3 5 правая фигурная скобка ;$ б) $логарифм по основанию 3 5.$