СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



О ПОЛОМКЕ И ВОССТАНОВЛЕННОЙ КОПИИ РЕШУ ЕГЭ

Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 17 № 513299

В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1 кг алюминия или 2 кг никеля. Во второй шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 1 кг никеля.

Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Решение.

Пусть в первой шахте на добыче алюминия за день будет затрачено х человеко-часов, а во второй шахте − y человеко-часов. Составим таблицу по данным задачи.

 

АлюминийНикель
Количество
человеко-часов
Количество
металла за день, кг
Количество
человеко-часов
Количество
металла за день, кг
Шахта 1xx
Шахта 2y2y
Всего

 

Поскольку алюминия необходимо добывать вдвое больше никеля, имеем:

Пусть s — масса сплава, она втрое больше массы добытого никеля: Найдем наибольшее возможное значение этого выражения, подставив в него :

Наибольшему возможному значению s соответствует наибольшее значение y. Из ясно, что наибольшее возможное значение y равно 350, при этом х = 0, Это означает, что 350 человеко-часов во второй шахте должны быть затрачены для добычи алюминия, а оставшиеся 150 человеко-часов во второй шахте и все 100 человеко-часов в первой шахте должны быть затрачены для добычи никеля. При этом будет добыто 700 кг алюминия и 350 кг никеля, а масса сплава будет равна 1050 кг.

 

Ответ: 1050 кг.

 

Приведем другое решение.

На первой шахте наиболее эффективно добывают никель. Пусть все 100 человеко-часов в первой шахте будут затрачены для добычи никеля, тогда его добудут на ней 200 кг. Для получения с сплава с добытым на первой шахте никелем на второй шахте необходимо добыть 400 кг алюминия, с этим справятся 40 рабочих, работая по 5 часов каждый. Из оставшихся 60 рабочих второй шахты можно треть направить на добычу алюминия, а две трети — на добычу никеля. Они произведут 100 кг никеля и 200 кг алюминия. При этом всего будет добыто 700 кг алюминия и 350 кг никеля, а масса общая сплава будет равна 1050 кг.

Покажем, что лучшей производительности не достичь: действительно, рабочие не простаивает, металла не добывается с избытком. Если же на первой шахте за kn человеко-часов вместо 2kn кг никеля добудут kn кг алюминия, то для производства сплава на второй шахте потребуется добыть 0,5kn никеля вместо возможных kn кг алюминия. При таком распределении усилий рабочих вместо возможных 3kn кг сплава будет произведено 1,5kn кг сплава, то есть труд будет неэффективным.


Аналоги к заданию № 513299: 513300 Все

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Задачи на оптимальный выбор, Задачи на оптимальный выбор