PDF-версии: 
Прямая, параллельная гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC, пересекает катет АС в точке D, катет BC — в точке E, причем DE = 2 и BE = 1. На гипотенузе взята точка F так, что BF = 1, величина угла FCB равна 30°.
а) Докажите, что треугольник BFE равносторонний.
б) Найдите площадь треугольника ABC.
Решение. а) Пусть точка M — середина отрезка DE. Тогда отрезки ME и FB равны и параллельны, следовательно, четырехугольник MEBF — параллелограмм, поэтому
откуда 
а значит, 
Следовательно, четырехугольник DCEF вписан в окружность, а тогда 
Прямые DE и AB параллельны, поэтому 
Треугольник BFE равнобедренный с углом 60°, следовательно, он равносторонний. Что требовалось доказать.
б) Заметим, что
откуда 
и 
следовательно,
Ответ: 
Приведем решение Валерия Григорьева.
а) Продолжим отрезки DF и BC до пересечения в точке К. В треугольнике DEK отрезок BF — средняя линия, так как он параллелен основанию DE и равен его половине. Тогда EK = 2, значит, треугольник DEK — равнобедренный, а точка F — середина DK, откуда DF = FK. Следовательно, CF — медиана в прямоугольном треугольнике CDK, и потому CF = FK.
Таким образом, треугольник CFK — равнобедренный, углы при его основании равны 30°. В треугольнике DEK имеем: 
и 
а смежный с ним угол CED равен 60°. Это угол, в свою очередь, является соответственным с углом ABC при параллельных DE и AB и секущей BE. Таким образом, треугольник EFB — равнобедренный с углом 60°, то есть равносторонний.
б) В прямоугольном треугольнике CDE имеем: 
и 
откуда 
Гипотенуза AB вдвое больше средней линии DE, то есть AB = 4. По теореме Пифагора в треугольнике ABC получаем 
Площадь треугольника равна
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |