PDF-версии: 
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один действительный корень.
Решение. Начнём решение с рассмотрения ОДЗ данного уравнения. Получаем следующие условия на x:
Для того чтобы ОДЗ не оказалась пустым множеством, необходимо условие a > 0.
Преобразуем исходное уравнение с учётом ОДЗ:
По теореме Виета произведение корней уравнения равно 1, значит, оба корня одного знака. Сумма корней равна 
поскольку a>0. Поэтому если корни есть, то они положительны, то есть удовлетворяют ОДЗ. Таким образом, осталось проверить факт наличия корней у этого уравнения, то есть решить неравенство D ≥ 0:
С учётом ограничения a > 0, получаем ответ a ∈ (0; 1].
Ответ: a ∈ (0; 1].
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |