PDF-версии: 
В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и
CC1. Точки A2 и C2 симметричны середине стороны AC относительно прямых BC и AB соответственно.
а) Докажите, что отрезки A1A2 и C1С2 лежат на параллельных прямых.
б) Найдите расстояние между точками A2 и C2, если известно, что AB = 7, BC = 6, CA = 5.
Решение.
А) Найдем площадь треугольника ABC по формуле Герона.
Тогда:
Пусть D — середина АС. Соединим отрезками точки C2 и A2 с точкой D. Пусть C2D пересекает AC1 в точке E, A2D — отрезок A1C в точке F. Ясно, что C2D ⊥ AC1, C2E = DE, (по определению центральной симметрии). Аналогично: A2D ⊥ A1C, DF = A2F.
AA1 || DF как два перпендикуляра к одной и той же прямой BC.
Рассмотрим ∠ACA1. На его стороне АС отложены равные отрезки D и DA, через их концы проведены параллельные прямые DF и AA1 до пресечения с другой стороной CA1. По теореме Фалеса будем иметь: F = A1F.
Отрезки A1C и A2D, являясь диагоналями четырехугольника DA1A2C, в точке F делятся пополам. Значит, DA1A2C — параллелограмм, откуда A1A2 || DC.
Аналогично получим: CC1 || DE, AE = C1E, AC2C1D — параллелограмм, C1C2 || AD.
Таким образом, оказалось, что A1A2 || CD, C1C2 || AD, прямые AD и CD совпадают с прямой АС. Следовательно, A1A2 и C1C2 лежат на параллельных прямых.
Б) Рассмотрим четырехугольник DEBF, у которого ∠BED + ∠BFD = 180°. Тогда
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |