РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 512650 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 139

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.3 Показательные неравенства

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени x минус 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 8 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x плюс 0,5 конец аргумента правая круглая скобка 2 конец дроби меньше или равно x.$

Решение. Найдем ограничения на x.

$система выражений новая строка x плюс 0,5 больше 0 , новая строка x плюс 0,5 не равно 1 , новая строка 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 6 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 8 больше 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка x больше минус 0,5 , новая строка x не равно 0,5 , новая строка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше 2 конец системы .$

или

$система выражений новая строка x больше минус 0,5 , новая строка x не равно 0,5 , новая строка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка больше 4 конец системы . равносильно система выражений новая строка x больше минус 0,5 , новая строка x не равно 0,5 , новая строка x меньше 1 конец системы .$

или

$система выражений новая строка x больше минус 0,5 , новая строка x не равно 0,5 , новая строка x больше 2 конец системы . равносильно совокупность выражений новая строка система выражений новая строка x больше минус 0,5 , новая строка x не равно 0,5 , новая строка x меньше 1 , конец системы . новая строка x больше 2 конец совокупности . равносильно x принадлежит левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Заданное неравенство далее будем рассматривать только на множестве $M= левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

На М:

$дробь: числитель: \log _x плюс 0,5 левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 8 правая круглая скобка , знаменатель: \log _ корень из: начало аргумента: x плюс 0,5 конец аргумента 2 конец дроби меньше или равно x равносильно дробь: числитель: \log _x плюс 0,5 левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 8 правая круглая скобка , знаменатель: \log _x плюс 0,54 конец дроби меньше или равно x равносильно$

$равносильно \log _4 левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 8 правая круглая скобка меньше или равно \log _44 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка равносильно 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 8 меньше или равно 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка равносильно$

$равносильно 6 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно 8 равносильно 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби равносильно 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно 2 в степени левая круглая скобка \log правая круглая скобка _2 дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби равносильно x больше или равно 2 минус \log _23.$

Покажем, что $0 меньше 2 минус \log _23 меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ Действительно,

$0 меньше 4 минус 2\log _23 меньше или равно 1 равносильно минус 4 меньше минус 2\log _23 меньше или равно минус 3 равносильно$
$равносильно 3 меньше \log _29 меньше или равно 4 равносильно \log _28 меньше \log _29 меньше или равно \log _216 равносильно 8 меньше 9 меньше или равно 16$ $0 меньше 4 минус 2\log _23 меньше или равно 1 равносильно$
$равносильно минус 4 меньше минус 2\log _23 меньше или равно минус 3 равносильно 3 меньше \log _29 меньше или равно 4 равносильно$
$равносильно \log _28 меньше \log _29 меньше или равно \log _216 равносильно 8 меньше 9 меньше или равно 16$

(неравенство очевидное).

С учетом ограничений на х получим ответ: $левая квадратная скобка 2 минус \log _23; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ: $левая квадратная скобка 2 минус \log _23; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

512650

$левая квадратная скобка 2 минус \log _23; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 139

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.3 Показательные неравенства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	512650	$левая квадратная скобка 2 минус \log _23; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$