РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 512648 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 139

Классификатор алгебры: Иррациональные уравнения, Показательные уравнения, Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

Дано уравнение $корень из: начало аргумента: 15 умножить на 2 в степени левая круглая скобка синус x конец аргумента минус 4 правая круглая скобка =3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка .$

а)  Решите уравнение.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус Пи ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Пусть $3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка =t.$ Оценим t.

Так как $минус 1 меньше или равно синус x меньше или равно 1,$ то $0,5 меньше или равно 2 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка меньше или равно 2 равносильно 1,5 меньше или равно 3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка меньше или равно 6.$

То есть $1,5 меньше или равно t меньше или равно 6.$ Тогда исходное уравнение будет иметь вид: $корень из: начало аргумента: 5t минус 4 конец аргумента =t.$

Докажем, что при $t принадлежит левая квадратная скобка 1,5; 6 правая квадратная скобка 5t минус 4 больше 0.$

Действительно, $1,5 меньше или равно t меньше или равно 6 равносильно 7,5 меньше или равно 5t меньше или равно 30 равносильно 3,5 меньше или равно 5t минус 4 меньше или равно 26.$

$корень из: начало аргумента: 5t минус 4 конец аргумента =t равносильно система выражений новая строка 1,5 меньше или равно t меньше или равно 6 , новая строка 5t минус 4=t в квадрате конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка 1,5 меньше или равно t меньше или равно 6 , новая строка t в квадрате минус 5t плюс 4=0 конец системы . равносильно t=4.$ $корень из: начало аргумента: 5t минус 4 конец аргумента =t равносильно$
$равносильно система выражений новая строка 1,5 меньше или равно t меньше или равно 6 , новая строка 5t минус 4=t в квадрате конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка 1,5 меньше или равно t меньше или равно 6 , новая строка t в квадрате минус 5t плюс 4=0 конец системы . равносильно t=4.$

Перейдем к переменной x.

$3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка =4 равносильно 2 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби равносильно 2 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка \log правая круглая скобка _2 дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби равносильно$ $3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка =4 равносильно 2 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби равносильно$
$равносильно 2 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка \log правая круглая скобка _2 дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби равносильно$

$равносильно 2 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка 2 минус \log правая круглая скобка _23 равносильно синус x=2 минус \log _23 равносильно$
$равносильно x= левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка арксинус левая круглая скобка 2 минус \log _23 правая круглая скобка плюс Пи n,n принадлежит Z .$ $равносильно 2 в степени левая круглая скобка синус x правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка 2 минус \log правая круглая скобка _23 равносильно$
$равносильно синус x=2 минус \log _23 равносильно$
$равносильно x= левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка арксинус левая круглая скобка 2 минус \log _23 правая круглая скобка плюс Пи n,n принадлежит Z .$

б)  Заданному промежутку принадлежит единственный корень $арксинус левая круглая скобка 2 минус \log _23 правая круглая скобка .$

Ответ: а) $левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени n арксинус левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию 2 3 правая круглая скобка плюс Пи n,n принадлежит Z ;$ б) $арксинус левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию 2 3 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

512648

а) $левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени n арксинус левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию 2 3 правая круглая скобка плюс Пи n,n принадлежит Z ;$ б) $арксинус левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию 2 3 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 139

Методы алгебры: Введение замены

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	512648	а) $левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени n арксинус левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию 2 3 правая круглая скобка плюс Пи n,n принадлежит Z ;$ б) $арксинус левая круглая скобка 2 минус логарифм по основанию 2 3 правая круглая скобка .$