РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 512460 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 137

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены, Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Неравенства. Неравенства рациональные относительно показательной функции

Решите неравенство $2 в степени левая круглая скобка 2x минус x в квадрате минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка минус 1 конец дроби меньше или равно 2.$

Решение. Получим:

$2 в степени левая круглая скобка 2x минус x в квадрате минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка минус 1 конец дроби меньше или равно 2 равносильно дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка минус 1 конец дроби минус 2 меньше или равно 0.$ $2 в степени левая круглая скобка 2x минус x в квадрате минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка минус 1 конец дроби меньше или равно 2 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 в степени левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка минус 1 конец дроби минус 2 меньше или равно 0.$

Пусть $2 в степени левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка =t.$ Тогда

$дробь: числитель: t, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 1 конец дроби минус 2 меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус t плюс 2 минус 4t плюс 4, знаменатель: 2 левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 5t плюс 6, знаменатель: t минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 1 конец дроби меньше или равно 0.$ $дробь: числитель: t, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 1 конец дроби минус 2 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус t плюс 2 минус 4t плюс 4, знаменатель: 2 левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 5t плюс 6, знаменатель: t минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 1 конец дроби меньше или равно 0.$ $дробь: числитель: t, знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t минус 1 конец дроби минус 2 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус t плюс 2 минус 4t плюс 4, знаменатель: 2 левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 5t плюс 6, знаменатель: t минус 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 1 конец дроби меньше или равно 0.$

Полученное неравенство решим методом интервалов.

Итак, $t меньше 1$ или $2 меньше или равно t меньше или равно 3.$ Перейдем к переменной х.

$2 в степени левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка меньше 1 равносильно 2 в степени левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка меньше 2 в степени 0 равносильно 2x минус x в квадрате меньше 0 равносильно$
$равносильно x в квадрате минус 2x больше 0 равносильно x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше 0 равносильно совокупность выражений новая строка x меньше 0 , новая строка x больше 2 . конец совокупности .$ $2 в степени левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка меньше 1 равносильно 2 в степени левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка меньше 2 в степени 0 равносильно$
$равносильно 2x минус x в квадрате меньше 0 равносильно x в квадрате минус 2x больше 0 равносильно$
$равносильно x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше 0 равносильно совокупность выражений новая строка x меньше 0 , новая строка x больше 2 . конец совокупности .$ $2 в степени левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка меньше 1 равносильно 2 в степени левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка меньше 2 в степени 0 равносильно$
$равносильно 2x минус x в квадрате меньше 0 равносильно$
$равносильно x в квадрате минус 2x больше 0 равносильно$
$равносильно x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка больше 0 равносильно совокупность выражений новая строка x меньше 0 , новая строка x больше 2 . конец совокупности .$

$2 меньше или равно 2 в степени левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно 3 равносильно система выражений новая строка 2 в степени левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка больше или равно 2 , новая строка 2 в степени левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 3 правая круглая скобка конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка 2x минус x в квадрате минус 1 больше или равно 0 , новая строка 2x минус x в квадрате меньше или равно логарифм по основанию 2 3 конец системы . равносильно система выражений новая строка x в квадрате минус 2x плюс 1 меньше или равно 0 , новая строка x в квадрате минус 2x плюс логарифм по основанию 2 3 больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 0 , новая строка x в квадрате минус 2x плюс \log _23 больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка x=1 , новая строка минус 1 плюс логарифм по основанию 2 3 больше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений новая строка x=1 , новая строка логарифм по основанию 2 3 больше или равно 1 конец системы . равносильно x=1.$ $2 меньше или равно 2 в степени левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно 3 равносильно система выражений новая строка 2 в степени левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка больше или равно 2 , новая строка 2 в степени левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 3 правая круглая скобка конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка 2x минус x в квадрате минус 1 больше или равно 0 , новая строка 2x минус x в квадрате меньше или равно логарифм по основанию 2 3 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка x в квадрате минус 2x плюс 1 меньше или равно 0 , новая строка x в квадрате минус 2x плюс логарифм по основанию 2 3 больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 0 , новая строка x в квадрате минус 2x плюс \log _23 больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка x=1 , новая строка минус 1 плюс логарифм по основанию 2 3 больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка x=1 , новая строка логарифм по основанию 2 3 больше или равно 1 конец системы . равносильно x=1.$ $2 меньше или равно 2 в степени левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно 3 равносильно$
$равносильно система выражений новая строка 2 в степени левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка больше или равно 2 , новая строка 2 в степени левая круглая скобка 2x минус x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 3 правая круглая скобка конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка 2x минус x в квадрате минус 1 больше или равно 0 , новая строка 2x минус x в квадрате меньше или равно логарифм по основанию 2 3 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка x в квадрате минус 2x плюс 1 меньше или равно 0 , новая строка x в квадрате минус 2x плюс логарифм по основанию 2 3 больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 0 , новая строка x в квадрате минус 2x плюс \log _23 больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка x=1 , новая строка минус 1 плюс логарифм по основанию 2 3 больше или равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений новая строка x=1 , новая строка логарифм по основанию 2 3 больше или равно 1 конец системы . равносильно x=1.$

Таким образом, $x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

512460

$левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 137

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены, Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	512460	$левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка .$