РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д10 C2 № 512459 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 137

Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах

Классификатор стереометрии: Перпендикулярность прямых, Площадь сечения, Правильная треугольная пирамида, Сечение, проходящее через три точки

Сложная стереометрия. Круглые тела

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра $AB=8 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ и SC  =  17.

а)  Докажите, что прямые AB и SC перпендикулярны.

б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки А, В и середину высоты пирамиды, проведенной из вершины S.

Решение. а)  Пусть O  — центр основания пирамиды, D  — середина ребра АB, E  — середина SO, ∠FDC  =  α, ∠FCD = β. Тогда

$CD= дробь: числитель: BC корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 8 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби =12.CO= дробь: числитель: 12 умножить на 2, знаменатель: 3 конец дроби =8;$

$DO= дробь: числитель: 12, знаменатель: 3 конец дроби =4;SO= корень из: начало аргумента: S конец аргумента в квадрате минус O в квадрате = корень из: начало аргумента: 289 минус 64 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 225 конец аргумента =15.$

Ребро SC  — наклонная к плоскости основания пирамиды, SO  — перпендикуляр, CO  — проекция наклонной, $CO\subset D,AB\bot CD,$ по теореме о трех перпендикулярах $AB\bot SC,$ что и требовалось доказать.

б)  В плоскости (DSC), которая содержит высоту пирамиды SO, через точку E проведем прямую, пересекающую ребро SC в точке F. Соединим эту точку с вершинами Aи B пирамиды. Δ AFB  — сечение, упомянутое в условии задачи.

В $\Delta DOE: тангенс альфа = дробь: числитель: OE, знаменатель: OD конец дроби = дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 умножить на 4 конец дроби = дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: косинус в квадрате альфа конец дроби =1 плюс тангенс в квадрате альфа =1 плюс дробь: числитель: 225, знаменатель: 64 конец дроби = дробь: числитель: 289, знаменатель: 64 конец дроби ; косинус альфа = дробь: числитель: 8, знаменатель: 17 конец дроби .$

В $\Delta SOC: косинус бета = дробь: числитель: CO, знаменатель: SC конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: 17 конец дроби .$ $косинус альфа = косинус бета .$ Значит, $альфа = бета ,DF=CF,PD=PC=6.$

В $\Delta DPF:DF= дробь: числитель: PD, знаменатель: косинус альфа конец дроби =6: дробь: числитель: 8, знаменатель: 17 конец дроби = дробь: числитель: 3 умножить на 17, знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 51, знаменатель: 4 конец дроби .$

$S левая круглая скобка AFB правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB умножить на DF= дробь: числитель: 8 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на 51, знаменатель: 2 умножить на 4 конец дроби =51 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Ответ: б) $51 корень из 3 .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Обоснованно получен верный ответ.

Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено

ИЛИ

при правильном ответе решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Ответ: б) $51 корень из 3 .$

512459

б) $51 корень из 3 .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 137

Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	512459	б) $51 корень из 3 .$