PDF-версии: 
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 3, AA1 = 4, AD = 5.
а) Докажите, что точки B, C1, D и A1 не лежат в одной плоскости.
б) Найдите объем многогранника с вершинами в точках B, C1, D и A1.
Решение. а) Поместим заданный параллелепипед в декартову систему координат с началом в точке D(0; 0; 0), как показано на рисунке 1.
Выпишем координаты некоторых его вершин: B(5; 3; 0), A1(5; 0; 4), C1(0; 3; 4). Будем искать уравнение плоскости BA1C1 в виде ax + by + cz + d = 0. И пусть при этом d = 120.
Вычитая почленно из первого уравнения второе, получим: 
Подставляем полученный результат в третье уравнение: 
Далее:
Таким образом, искомое уравнение имеет вид: 
или 
Нетрудно заметить, что координаты точки D не удовлетворяют уравнению плоскости, следовательно, эта точка D с точками B, C1 и A1 в одной плоскости не лежит.
б) Рассмотрим пирамиду с основанием BA1C1 и вершиной D. Высоту ее найдем как расстояние ρ от точки D до плоскости BA1C1.
Найдем стороны Δ BA1C1.
Теперь найдем высоту этого треугольника, проведенного к стороне A1B (рисунок 2).
Таким образом,
Ответ: б) 20.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |