Тип Д19 C7 № 512443 
Сложные задания на числа и их свойства. Числа и их свойства
i
На доске написано более 122, но менее 134 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −7. Среднее арифметическое всех положительных чисел равно 11, а среднее арифметическое всех отрицательных чисел равно −22.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Решение. а) Пусть на доске написано x положительных чисел, y отрицательных, и z нулей. Тогда из условия получаем равенство: 
Таким образом, 
делится на 11, а значит и 
делится на 11. Так как больше 122, но меньше 134, получаем, что 
б) Из равенства 
получаем, что 
Значит, 
следовательно, 
Получаем, что отрицательных чисел больше.
в) Используя равенства 
и 
получаем, что 
(1) и 
Подставляя выражение для y в неравенство (1), получим, что 
Докажем, что x может равняться 60. Действительно, пусть на доске 60 раз написано число 11 и 72 раза написано число -22. Тогда все условия выполняются.
Ответ: а) 132; б) отрицательных; в) 60.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) 132; б) отрицательных; в) 60.
512443
а) 132; б) отрицательных; в) 60.
PDF-версии: