РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 512430 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 133

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности функций, Формулы приведения

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ

Дано уравнение $синус левая круглая скобка 133 Пи минус 21x правая круглая скобка умножить на синус левая круглая скобка 14x плюс дробь: числитель: 133 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =1.$

а)  Решите уравнение.

б)  Укажите корни уравнения, принадлежащие промежутку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка .$

Решение. а)  Последовательно получаем:

$синус левая круглая скобка 133 Пи минус 21x правая круглая скобка умножить на синус левая круглая скобка 14x плюс дробь: числитель: 133 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =1 равносильно$
$равносильно синус левая круглая скобка 2 умножить на 66 Пи плюс Пи минус 21x правая круглая скобка синус левая круглая скобка 66 Пи плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 14 правая круглая скобка =1 равносильно$

$равносильно синус 21x умножить на косинус 14x=1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка синус 35x плюс синус 7x правая круглая скобка =1 равносильно синус 35x плюс синус 7x=2.$ $равносильно синус 21x умножить на косинус 14x=1 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка синус 35x плюс синус 7x правая круглая скобка =1 равносильно$
$равносильно синус 35x плюс синус 7x=2.$

Последнее равенство возможно только при одновременном выполнении двух условий: $синус 35x=1$ и $синус 7x=1.$ Наименьший положительный период функция $y_1= синус 7x$ равен $дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 7 конец дроби ,$ следовательно, эта функция на отрезке $левая квадратная скобка 0;2 Пи правая квадратная скобка$ значение, равное 1, будет принимать ровно 7 раз. Наименьший положительный период функции $y_2= синус 35x$ равен $дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 35 конец дроби ,$ что свидетельствует о том, что эта функция свое значение, равное 1, на $левая квадратная скобка 0;2 Пи правая квадратная скобка$ будет принимать ровно в 5 раз чаще, чем функция $y_1= синус 7x.$ Следовательно, обоим уравнениям будут удовлетворять лишь решения уравнения $синус 7x=1.$ Итак,

$система выражений новая строка синус 35x=1 , новая строка синус 7x=1 конец системы . равносильно синус 7x=1 равносильно$
$равносильно 7x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби Пи n,n принадлежит Z .$ $система выражений новая строка синус 35x=1 , новая строка синус 7x=1 конец системы . равносильно синус 7x=1 равносильно$
$равносильно 7x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n,n принадлежит Z равносильно$
$равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби Пи n,n принадлежит Z .$

б)  Заметим, что при $n= минус 2$

$x_1= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби минус дробь: числитель: 4 Пи , знаменатель: 7 конец дроби = минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 14 конец дроби = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Полученное значение переменной совпадает левым концом рассматриваемого промежутка, значит,

$x_2= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 7 конец дроби = минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 14 конец дроби ;x_3=$
$= минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 14 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 7 конец дроби = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби ;x_4= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 7 конец дроби = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 14 конец дроби .$ $x_2= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 7 конец дроби =$
$= минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 14 конец дроби ;x_3= минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 14 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 7 конец дроби =$
$= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби ;x_4= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 7 конец дроби = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 14 конец дроби .$ $x_2= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 7 конец дроби =$
$= минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 14 конец дроби ;x_3= минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 14 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 7 конец дроби =$
$= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби ;x_4=$
$= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 7 конец дроби = дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 14 конец дроби .$

$дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 14 конец дроби меньше дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби равносильно дробь: числитель: 20, знаменатель: 56 конец дроби меньше дробь: числитель: 21, знаменатель: 56 конец дроби .$

Однако, $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 14 конец дроби плюс дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 7 конец дроби = дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 14 конец дроби больше дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ,$ так как $дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 14 конец дроби = дробь: числитель: 36 Пи , знаменатель: 56 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: 21 Пи , знаменатель: 56 конец дроби ,$ а $дробь: числитель: 36 Пи , знаменатель: 56 конец дроби больше дробь: числитель: 21 Пи , знаменатель: 56 конец дроби .$

Ответ: а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби Пи n,n принадлежит Z .$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 14 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 14 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

512430

а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби Пи n,n принадлежит Z .$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 14 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 14 конец дроби .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 133

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности функций, Формулы приведения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	512430	а) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби Пи n,n принадлежит Z .$ б) $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 14 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 14 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 14 конец дроби .$