РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

А)  При каком наибольшем N на окружности можно отметить N точек так, то среди треугольников с вершинами в отмеченных точках найдётся ровно 2015 прямоугольных треугольников?

Б)  При каком наименьшем N на окружности можно отметить N точек так, что среди треугольников с вершинами в отмеченных точках найдётся ровно 2015 прямоугольных треугольников?

В)  При каком наименьшем N на окружности можно отметить N точек так, что среди треугольников с вершинами в отмеченных точках найдётся по крайней мере 2015 прямоугольных треугольников?

Решение. а)  Среди отмеченных точек должно быть хотя бы две диаметрально противоположные (иначе не будет прямоугольных треугольников). Пусть у нас 2n точек имеющих диаметрально противоположные, лежащих на концах n диаметров, и k не имеющих диаметрально противоположных. Каждый диаметр образует с любой из оставшихся 2n-2+k точек прямоугольный треугольник. Поэтому всего их будет $n умножить на левая круглая скобка 2n плюс k минус 2 правая круглая скобка =2015.$ Поскольку число точек 2n+k должно быть наибольшим, множитель n должен быть наименьшим. Возьмем n=1. Тогда $2n плюс k минус 2=2015,$ а всего точек $2n плюс k=2017.$

б)  Чтобы число точек 2n+k было наименьшим, множитель n в формуле $n умножить на левая круглая скобка 2n плюс k минус 2 правая круглая скобка =2015$ должен быть наибольшим. Так как $2015=5 умножить на 13 умножить на 31$ и $2n плюс k минус 2 больше n,$ наибольшее возможное значение n равно 31. Значит, $2n плюс k минус 2=65.$ Получаем 67 точек.

в)  Должно выполняться неравенство $n умножить на левая круглая скобка 2n плюс k минус 2 правая круглая скобка \geqslant2015$ (1). С учетом результата пункта б), необходимо найти наименьшее количество точек $2n плюс k меньше 67,$ удовлетворяющее неравенству (1). Если $2n плюс k=66,$ при k=0, n=33 треугольников будет $33 умножить на 64=2112 больше 2015$ и неравенство (1) выполнено. Если $2n плюс k=65,$ при k=1, n=32 всего треугольников $32 умножить на 63=2016 больше 2015.$ При $2n плюс k\leqslant64$ будем иметь: $n\leqslant32, 2n плюс k минус 2\leqslant62$ значит, $n умножить на левая круглая скобка 2n плюс k минус 2 правая круглая скобка \leqslant1984,$ и неравенство (1) не будет выполняться.

Ответ:а)2017; б)67; в)65.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	512007	а)2017; б)67; в)65.

Ключ