PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.
Решение. Прибавим левую часть второго уравнения (равную нулю) к каждому из подкоренных выражений в первом уравнении.
То есть сумма расстояний от точки 
до точек 
и 
равна 
Но и расстояние между точками и равно Итак, точка лежит на отрезке, соединяющем точки и 
Значит, 
причем 
То есть 
или 
причем Более того, 
поэтому 
Итак, задача свелась к такой — когда уравнения 
и 
имеют вместе ровно два корня на отрезке 
Разберем сразу случай, когда 
то есть 
Тогда 
и первое уравнение имеет корень 
(не лежит на нужном промежутке), а второе — корень 
(подходит).
Итак, есть ровно два корня, поэтому подходит. В остальных случаях корни этих двух уравнений совпадать не могут.
Второе уравнение дает 
Оно не имеет корней при 
имеет один корень при 
имеет два корня при 
имеет один корень (второй не попадает в нужный промежуток) при 
и не имеет подходящих корней при 
Первое уравнение дает 
Оно не имеет корней при 
имеет один корень при 
имеет два корня при 
имеет один корень (второй не попадает в нужный промежуток) при 
и не имеет подходящих корней при 
Совмещая эти ответы, получаем,что два корня есть когда 
или 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |