РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 511917 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 119

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.3 Показательные неравенства

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство $дробь: числитель: \log _ левая круглая скобка минус 36x правая круглая скобка , знаменатель: 6 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка конец дроби \log _366 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно \log _x в квадрате 36.$

Решение. Найдем ограничения на х: $система выражений новая строка x меньше 0 , новая строка x не равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 36 конец дроби , новая строка x не равно минус 1 , новая строка 6 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка не равно 1 конец системы .$   $равносильно$   $система выражений новая строка x меньше 0 , новая строка x не равно минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 36 конец дроби , новая строка x не равно минус 1 , новая строка x не равно минус 2 конец системы .$

На множестве допустимых значений х:

$дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка минус 36x правая круглая скобка правая круглая скобка 6 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 36 правая круглая скобка 6 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка 36 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 6 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка правая круглая скобка 36, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 6 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка минус 36x правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 36 правая круглая скобка x в квадрате конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 36 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 36x правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$ $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка минус 36x правая круглая скобка правая круглая скобка 6 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 36 правая круглая скобка 6 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка 36 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 6 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка правая круглая скобка 36, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 6 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка минус 36x правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 36 правая круглая скобка x в квадрате конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 36 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 36x правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$ $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка минус 36x правая круглая скобка правая круглая скобка 6 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 36 правая круглая скобка 6 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка 36 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 6 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка правая круглая скобка 36, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 6 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка минус 36x правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 36 правая круглая скобка x в квадрате конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 36 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 36x правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс \dfrac12 логарифм по основанию 6 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 2, знаменатель: 2 плюс логарифм по основанию 6 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0.$ $равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс \dfrac12 логарифм по основанию 6 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2, знаменатель: 2 плюс логарифм по основанию 6 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 6 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0.$

Пусть $логарифм по основанию 6 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка =t,$ тогда $дробь: числитель: 2, знаменатель: t плюс 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 2t минус t минус 2, знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: t минус 2, знаменатель: t левая круглая скобка t плюс 2 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0.$

Последнее неравенство решим методом интервалов $t принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;2 правая квадратная скобка .$

Итак, $t меньше минус 2,$ $0 меньше t меньше или равно 2.$ Перейдем к переменной х.

$логарифм по основанию 6 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка меньше минус 2$   $равносильно логарифм по основанию 6 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка меньше логарифм по основанию 6 дробь: числитель: 1, знаменатель: 36 конец дроби равносильно$ $минус x меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 36 конец дроби$   $равносильно$   $x больше минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 36 конец дроби .$

$0 меньше логарифм по основанию 6 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка меньше или равно 2$   $равносильно$   $логарифм по основанию 6 1 меньше логарифм по основанию 6 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 6 36$   $равносильно$   $1 меньше минус x меньше или равно 36$   $равносильно$   $минус 36 меньше или равно x меньше минус 1.$

С учетом ограничений на х искомое решение $x принадлежит левая квадратная скобка минус 36; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 2; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 36 конец дроби ;0 правая круглая скобка .$

Ответ: $левая квадратная скобка минус 36; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 2; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 36 конец дроби ;0 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

511917

$левая квадратная скобка минус 36; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 2; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 36 конец дроби ;0 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 119

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.3 Показательные неравенства

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511917	$левая квадратная скобка минус 36; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 2; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 36 конец дроби ;0 правая круглая скобка .$