РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 511892 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 117

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены, Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство $\log _x левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 1 меньше или равно \log _x плюс 2 левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате плюс \log _x левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате .$

Решение. Найдем ограничения на x.

$система выражений новая строка x больше 0 , новая строка x не равно 1 , новая строка x не равно 3 . конец системы .$

Заданное неравенство будем рассматривать только на множестве $M= левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

$\log _x левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 1 меньше или равно \log _x плюс 2 левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате плюс \log _x левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 2\log _x левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате плюс 1 меньше или равно дробь: числитель: \log _x, знаменатель: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби \log _x левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка плюс 2\log _x левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка .$

Пусть $\log _x левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате =u,$ $\log _x левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка = v .$ Тогда:

$2u плюс 1 минус дробь: числитель: u, знаменатель: v конец дроби минус 2 v меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 2u v плюс v минус u минус 2 v в квадрате , знаменатель: v конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2u v минус 2 v в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка u минус v правая круглая скобка , знаменатель: v конец дроби меньше или равно 0 равносильно$ $2u плюс 1 минус дробь: числитель: u, знаменатель: v конец дроби минус 2 v меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2u v плюс v минус u минус 2 v в квадрате , знаменатель: v конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2u v минус 2 v в квадрате правая круглая скобка минус левая круглая скобка u минус v правая круглая скобка , знаменатель: v конец дроби меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 2 v левая круглая скобка u минус v правая круглая скобка минус левая круглая скобка u минус v правая круглая скобка , знаменатель: v конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка u минус v правая круглая скобка левая круглая скобка 2 v минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: v конец дроби меньше или равно 0.$ $равносильно дробь: числитель: 2 v левая круглая скобка u минус v правая круглая скобка минус левая круглая скобка u минус v правая круглая скобка , знаменатель: v конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка u минус v правая круглая скобка левая круглая скобка 2 v минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: v конец дроби меньше или равно 0.$

Теперь перейдем к переменной х и воспользуемся методом рационализации.

$дробь: числитель: левая круглая скобка \log _x, знаменатель: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате конец дроби минус \log _x левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка \log _x левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате минус \log _xx правая круглая скобка \log _x левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате минус x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 6x плюс 9 минус x минус 2 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x плюс 4 минус x правая круглая скобка , знаменатель: x плюс 1 конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x в квадрате минус 7x плюс 7 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x в квадрате плюс 3x плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: x плюс 1 конец дроби меньше или равно 0.$

Найдем корни квадратного трехчлена $x в квадрате минус 7x плюс 7.$

$x в квадрате минус 7x плюс 7=0 равносильно x= дробь: числитель: 7\pm корень из: начало аргумента: 49 минус 28 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно x= дробь: числитель: 7\pm корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$ $x в квадрате минус 7x плюс 7=0 равносильно$
$равносильно x= дробь: числитель: 7\pm корень из: начало аргумента: 49 минус 28 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно x= дробь: числитель: 7\pm корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$ $x в квадрате минус 7x плюс 7=0 равносильно$
$равносильно x= дробь: числитель: 7\pm корень из: начало аргумента: 49 минус 28 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно x= дробь: числитель: 7\pm корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Заметим, что на M для любого x: $x плюс 1 больше 0,$ $x в квадрате плюс 3x плюс 4 больше 0$ (для последнего $D=9 минус 16 меньше 0 правая круглая скобка .$ Следовательно,

$левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 7 минус корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 7 плюс корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 0.$ $левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка \times$
$\times левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 7 минус корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 7 плюс корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 0.$

Решим последнее неравенство методом интервалов. Неравенства

$дробь: числитель: 7 минус корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби больше 1, дробь: числитель: 7 минус корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби меньше 3 меньше дробь: числитель: 7 плюс корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$

очевидны. Таким образом, решениями исходного неравенства являются элементы множества

$левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 7 минус корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ;3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; дробь: числитель: 7 плюс корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 7 минус корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ;3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; дробь: числитель: 7 плюс корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

511892

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 117

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены, Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	511892	$левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 7 минус корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ;3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; дробь: числитель: 7 плюс корень из: начало аргумента: 21 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$