РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 15 № 511831 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 112

Классификатор алгебры: Неравенства с модулями, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Метод интервалов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.5 Показательные уравнения;

2.1.6 Логарифмические уравнения;

2.2.9 Метод интервалов.

Неравенства. Другие неравенства смешанного типа

Решите неравенство $\left| 6 минус 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка | меньше или равно левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка умножить на \log _6 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка .$

Решение. Ограничение на х: $x больше минус 1.$

1.  Пусть $6 минус 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше 0$   $равносильно$   $7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка больше 6$   $равносильно$   $7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка больше 7 в степени левая круглая скобка \log правая круглая скобка _76$   $равносильно$   $x больше \log _76,$ тогда $\left| 6 минус 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка |=7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 6.$

На рассматриваемом множестве и при $x больше минус 1$ :

$\left| 6 минус 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка | меньше или равно левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка умножить на \log _6 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка равносильно левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка умножить на \log _6 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус \log _6 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$ $\left| 6 минус 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка | меньше или равно левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка умножить на \log _6 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка минус левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка умножить на \log _6 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус \log _6 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно 1 минус \log _6 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно \log _6 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка больше или равно \log _66 равносильно x плюс 1 больше или равно 6 равносильно x больше или равно 5.$

При $x больше или равно 5$ выполняются оба условия: $x больше минус 1$ и $6 минус 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше 0.$

Мы получили часть решения исходного неравенства.

2.  Пусть $6 минус 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно 0$   $равносильно$   $7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно 6$   $равносильно$   $7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно 7 в степени левая круглая скобка \log правая круглая скобка _76$   $равносильно$   $x меньше или равно \log _76,$ тогда $\left| 6 минус 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка |=6 минус 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка .$

На рассматриваемом множестве и при $x больше минус 1$ :

$\left| 6 минус 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка | меньше или равно левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка умножить на \log _6 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка равносильно левая круглая скобка 6 минус 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 6 минус 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на \log _6 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 6 минус 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс \log _6 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$ $\left| 6 минус 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка | меньше или равно левая круглая скобка 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка умножить на \log _6 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 6 минус 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 6 минус 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на \log _6 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 6 минус 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс \log _6 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно совокупность выражений новая строка x=\log _76 , новая строка \log _6 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x=\log _76 , новая строка \log _6 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно \log _6 дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x=\log _76 , новая строка x плюс 1 меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x=\log _76 , новая строка x меньше или равно минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби . конец совокупности .$ $равносильно совокупность выражений новая строка x=\log _76 , новая строка \log _6 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x=\log _76 , новая строка \log _6 левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно \log _6 дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений новая строка x=\log _76 , новая строка x плюс 1 меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x=\log _76 , новая строка x меньше или равно минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби . конец совокупности .$

С учетом ограничения на x получим:

$совокупность выражений новая строка x=\log _76 , новая строка минус 1 меньше x меньше или равно минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби . конец совокупности .$

Значения $x принадлежит левая круглая скобка минус 1; минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка$ удовлетворяют условию $6 минус 7 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно 0,$ то есть неравенству $x меньше или равно \log _76,$ поскольку $\log _76 больше 0.$

Итак, решениями исходного неравенства являются элементы множества $левая круглая скобка минус 1; минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка \log _76 правая фигурная скобка .$

Ответ: $левая круглая скобка минус 1; минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка \log _76 правая фигурная скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

511831

$левая круглая скобка минус 1; минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка \log _76 правая фигурная скобка .$