Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 511402

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды SABC равно 10, а косинус угла ASB при вершине боковой грани равен   дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби . Точка M — середина ребра SC.

а) Докажите, что BC \perp SA.

б) Найдите косинус угла между прямыми BM и SA.

Спрятать решение

Решение.

а) Проекция точки S на плоскость ABC — точка H, центр правильного треугольника ABC. Поэтому прямая AH содержит высоту треугольника ABC, значит, AH \perp BC, тогда, по теореме о трех перпендикулярах, SA \perp BC.

 

б) Пусть N — середина AC. Поскольку MN||SA по теореме о средней линии треугольника, угол BMN искомый. Найдём стороны треугольника BMN. По теореме о средней линии треугольника MN= дробь: числитель: SA, знаменатель: 2 конец дроби =5. По теореме косинусов из треугольника BSM получаем:

BM= корень из (100 плюс 25 минус 2 умножить на 10 умножить на 5 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби ) = дробь: числитель: корень из (475) , знаменатель: 2 конец дроби .

Чтобы найти BN, найдём сначала сторону основания по теореме косинусов из треугольника BSC:

BC= корень из (100 плюс 100 минус 2 умножить на 10 умножить на 10 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 16 конец дроби ) = корень из ( дробь: числитель: 375, знаменатель: 2 конец дроби )

Теперь BN= корень из ( дробь: числитель: 1125, знаменатель: 8 конец дроби ) как высота в равностороннем треугольнике со стороной  корень из ( дробь: числитель: 375, знаменатель: 2 конец дроби ) . Осталось вычислить косинус нужного угла:

 косинус \angle NMB= дробь: числитель: дробь: числитель: 475, знаменатель: 4 конец дроби плюс 25 минус дробь: числитель: 1125, знаменатель: 8 конец дроби , знаменатель: 2 умножить на 5 умножить на дробь: числитель: корень из (475) , знаменатель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 корень из (19) конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 корень из (19) конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 505387: 505408 511402 Все

Методы геометрии: Теорема косинусов