СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 511393

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке P и пересекает отрезок BO в точке Q. При этом отрезки OC и QP параллельны.

а) Докажите, что треугольник ABC ― равнобедренный треугольник.

б) Найдите площадь треугольника BQP, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO : OD = 3 : 1 и AC = 4.

Решение.

Пусть луч пересекает сторону в точке Введем следующие обозначения: , Прямые и параллельны, а углы и ― накрест лежащие при пересечении прямых и секущей следовательно, Далее, из прямоугольного треугольника находим , а из равнобедренного треугольника находим Таким образом, треугольники и подобны, и, значит, биссектриса треугольника является его высотой, откуда следует, что треугольник ― равнобедренный треугольник, что и требовалось доказать.

б) Отрезок ― биссектриса треугольника следовательно:

откуда

Далее значит, и, следовательно, Откуда

,

следовательно,

По формуле Герона находим:

Значит,

 

Ответ:


Аналоги к заданию № 504832: 511393 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Окружности и треугольники