Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 511331

Дан треугольник АВС, площадь которого равна 325. Точка Е на прямой АС выбрана так, что треугольник АВЕ ― равнобедренный с основанием АЕ и высотой BD. Найдите площадь треугольника АВE, если известно, что \angle ABE=\angle CBD= альфа и \operatorname тангенс альфа = дробь: числитель: 5, знаменатель: 12 конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

Введем следующие обозначения: AB=BE=c, BC=a, BD=h.

 

1 случай (точка E лежит между точками A и С, см. рис. 1).

 

Треугольник АВЕ равнобедренный, поэтому \angle ABD=\angle DBE= дробь: числитель: альфа , знаменатель: 2 конец дроби , а значит, \angle CBE= дробь: числитель: альфа , знаменатель: 2 конец дроби .

 

Углы ABE и CBD треугольников ABE и CBD равны, значит,

 дробь: числитель: S_\Delta DBE, знаменатель: S_\Delta CBE конец дроби = дробь: числитель: hc, знаменатель: ac конец дроби = дробь: числитель: h, знаменатель: a конец дроби = косинус альфа ,

откуда S_\Delta DBE=S_\Delta CBE косинус альфа .

 

Поскольку  косинус альфа = дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из (1 плюс \operatorname тангенс ) в квадрате альфа конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: 13 конец дроби , получаем

S_\Delta DBE= дробь: числитель: 12, знаменатель: 13 конец дроби S_\Delta CBE,

откуда

S_\Delta ABE= дробь: числитель: 24, знаменатель: 13 конец дроби S_\Delta CBE,

значит,

S_\Delta ABE= дробь: числитель: 24, знаменатель: 37 конец дроби S_\Delta ABC = дробь: числитель: 24, знаменатель: 37 конец дроби умножить на 325 = дробь: числитель: 7800, знаменатель: 37 конец дроби .

 

2 случай (точка A лежит между точками E и С, см. рис. 2).

 

Аналогично случаю 1 находим

S_\Delta ABE= дробь: числитель: 24, знаменатель: 13 конец дроби S_\Delta ABC = дробь: числитель: 24, знаменатель: 13 конец дроби умножить на 325=600.

 

Ответ: \frac{7800}{37} или 600.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины или рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, но получен неправильный ответ из-за одной арифметической ошибки2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 500003: 500009 511331 Все

Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства