Ре­ше­ние. а)  131- про­стое число, по­это­му если про­из­ве­де­ние всех де­ли­те­лей не­ко­то­ро­го числа равно 131, то всего его де­ли­те­ли - это 1 и 131.

б)  Пусть ис­ко­мое число N раз­ло­жи­ли на про­стые мно­жи­те­ли: Тогда ко­ли­че­ство его де­ли­те­лей равно Дей­стви­тель­но, де­ли­те­ли числа N могут со­дер­жать мно­жи­тель p_i в любой сте­пе­ни от 0 до всего ва­ри­ан­тов. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем, что число N равно 130й сте­пе­ни не­ко­то­ро­го про­сто­го числа. Ми­ни­маль­ным таким чис­лом будет

в)  Наи­боль­ший де­ли­тель числа N равен N, а три наи­мень­шие де­ли­те­ля равны где a < b. Тогда Если N не­чет­но, то все его де­ли­те­ли не­чет­ны, и по­след­нее ра­вен­ство не­воз­мож­но. Зна­читN четно и По­лу­чим, что Ясно, что b четно. Пусть тогда Пусть Тогда за­ме­тим, что b не де­лит­ся на 4, а так же зна­чит, надо про­ве­рить числа 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 46, 50, 54, 58, и 62. Но у каж­до­го из них есть не­чет­ный де­ли­тель, зна­чит, ни­ка­кое из них не го­дит­ся. Таким об­ра­зом, 124 про­сто един­ствен­ное число, удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­вию.

Ответ: а) 131; б) в)124