PDF-версии: 
В трапеции параллельно основаниям проведены четыре отрезка с концами на боковых сторонах: KL, MN, RS и TQ. Известно, что первый отрезок проходит через точку пересечения диагоналей трапеции, второй — делит ее на два подобных четырехугольника, третий — соединяет середины боковых сторон, четвертый разбивает трапецию на две равновеликие части.
а) Найдите длины этих отрезков.
б) Докажите, что KL < MN < RS < TQ.
Решение. Пусть основания трапеции равны a и b, b > a. Введем обозначения, как показано на рисунках. Для единообразия записей в каждом из случаев обозначим искомый отрезок EF и прием его длину за х.
1. Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей. Достроим трапецию до параллелограмма, как показано на рисунке. Треугольники BOC и AOD подобны, их высоты относятся как 
Треугольники FCG также FDH подобны, их высоты относятся как 
Поскольку указанные пары треугольников имеют равные высоты, получаем: 
откуда
Отметим, что найденная длина отрезка является средним гармоническим оснований.
2. Подобные трапеции. Если трапеции ALFD и LBCF подобны, то 
Отсюда
Отметим, что найденная длина отрезка является средним геометрическим оснований.
3. Средняя линия трапеции. Треугольник BCF равен треугольнику FDG по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства следует, что BF = FG , поэтому EF — средняя линия треугольника ABG, а тогда EF || AG,
Отметим, что найденная длина отрезка является средним арифметическим оснований.
4. Равновеликие трапеции. Достроим трапецию до треугольника, как показано на рисунке. В силу подобия треугольников PBC, PEF и PAD имеем:
Складывая равенства, получаем 
откуда
Отметим, что найденная длина отрезка является средним квадратичным оснований.
Неравенства между средними. Известно, что для положительных чисел a и b их среднее гармоническое не больше среднего геометрического, среднее геометрическое не больше среднего арифметического, а среднее арифметическое не больше среднего квадратичного; причем равенства достигаются только в случае равенства чисел a и b:
Иллюстрация этих соотношений представлена на рисунке.
Докажем неравенства, попарно возводя их в квадрат:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |