Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 
имеет ровно один корень.
Решение. Заметим, что если x0 — корень заданного уравнения, то 
также является корнем этого же уравнения. Чтобы уравнение имело ровно один корень необходимо выполнение условия: 
А это выполнимо лишь при одном условии: 
Найдем все значения параметра а, при каждом из которых корнем заданного уравнения будет число 0.
Итак, нами найдены два значения а, при которых корнем уравнения является число 0. Равенство нулю является всего лишь необходимым условием единственности корня уравнения, но не достаточным. Следовательно, эти значения нуждаются в проверке.
При a = 3 уравнение примет вид:
Найдем область значений функции 
Аналогично 
Отсюда ясно, что графики функций f(x) и g(x) имеют одну единственную общую точку (0; 0). (См. также рис. 1).
При a = −2 будем иметь:
Рассмотрим функции 
и 
Графики этих двух функций, кроме общей точки (0; 0), имеют по меньшей мере еще одну общую точку, а именно, точку (2; −2). Докажем это. 
(Cм. также рис. 2)
Следовательно, значение a = −2 требованию задачи не соответствует.
Искомое значение параметра единственное: оно равно 3.
Ответ: 3.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |