РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Найдите все положительные значения a, при каждом из которых множеством решений неравенства

$дробь: числитель: x минус 2, знаменатель: ax в квадрате минус левая круглая скобка a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка x плюс a конец дроби больше или равно 0$

является некоторый луч.

Решение. Разложим знаменатель левой части данного неравенства на множители:

$ax в квадрате минус левая круглая скобка a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка x плюс a=ax в квадрате минус a в квадрате x минус x плюс a=ax левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка минус левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка = левая круглая скобка ax минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка .$ $ax в квадрате минус левая круглая скобка a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка x плюс a=ax в квадрате минус a в квадрате x минус x плюс a=$
$=ax левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка минус левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка = левая круглая скобка ax минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка .$

Рис. 1

Способ 1 (метод интервалов).

$a больше 0,$ поэтому знаменатель исходной дроби имеет корни a и $дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби .$ Если числа 2, a и  $дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби$ попарно различны, то искомое множество ― объединение двух промежутков, а не луч. Значит, для того, чтобы множеством решений неравенства

Рис. 2

являлся луч, необходимо, чтобы из трех чисел 2, a и $дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби$ какие-⁠то два совпали.

1.   Если $a=2$ или $a=0,5,$ то множеством решений данного неравенства также является не луч, а объединение двух промежутков: $левая круглая скобка 0,5;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка$ (см. рис. 1).

2.   Если $a= дробь: числитель: 1, знаменатель: a конец дроби ,$ то $a=1,$ поскольку, согласно условию, $a больше 0.$

Рис. 3

В этом случае множеством решений данного неравенства является луч $левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка$ (см. рис. 2).

Способ 2 (графоаналитический).

Данное неравенство при положительных a задает на координатной плоскости xOa три области (см. заштрихованные области на рис. 3).

Множество решений данного неравенства при каждом значении a есть множество абсцисс всех точек этих областей, ордината которых равна a.

Это множество является лучом только при $a=1.$

Ответ: $a=1.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено искомое значение параметра, но допущена одна вычислительная ошибка (описка).	3
С помощью верного рассуждения получено значение параметра (возможно неверное из-за одной вычислительной ошибки), но решение недостаточно обосновано (например, не обосновано наличие ровно одного значения a или не рассмотрен один из случаев $a=2$ или $a=0,5$ ).	2
Задача сведена к методу интервалов или исследованию графика, но дальнейшие рассуждения неверны или отсутствуют.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ключ